Теплоёмкости Cp и Cv

Урок объясняет, почему нагрев при постоянном давлении требует больше теплоты, чем при постоянном объёме.

Теплоёмкость — количество теплоты, нужное для нагрева вещества на один кельвин. У газа она зависит от условий нагрева.

Нагревая газ в закрытом баллоне (объём постоянен), вся теплота идёт во внутреннюю энергию. Нагревая газ под подвижным поршнем (давление постоянно), часть теплоты уходит на работу расширения. Поэтому различают две теплоёмкости.

Соотношение Майера

Молярные теплоёмкости при постоянном объёме $C_v$ и давлении $C_p$ связаны:

$$C_p - C_v = R$$

Разница как раз равна работе, которую газ совершает при изобарном расширении на один кельвин. Для одноатомного газа $C_v = \tfrac{3}{2}R$, для двухатомного $C_v = \tfrac{5}{2}R$ (добавляются две вращательные степени свободы). Показатель адиабаты $\gamma = C_p/C_v$.

R = 8.314
for name, i in [("одноатомный", 3), ("двухатомный", 5)]:
    Cv = i / 2 * R
    Cp = Cv + R
    gamma = Cp / Cv
    print(name, "Cv =", round(Cv, 2), "Cp =", round(Cp, 2), "gamma =", round(gamma, 3))

Вывод:

одноатомный Cv = 12.47 Cp = 20.79 gamma = 1.667
двухатомный Cv = 20.79 Cp = 29.1 gamma = 1.4

Число степеней свободы

$C_v = \tfrac{i}{2}R$, где $i$ — число степеней свободы молекулы: 3 для одноатомного (только поступательное движение), 5 для двухатомного (плюс два вращения), 6 для многоатомного. Это закон равнораспределения энергии: на каждую степень свободы приходится $\tfrac{1}{2}kT$.

Как работает под капотом

При $V=\text{const}$ работа нулевая, поэтому $Q = \Delta U = nC_v\Delta T$. При $p=\text{const}$ к этому добавляется работа $A = nR\Delta T$, и теплоты требуется на $nR\Delta T$ больше — отсюда и $C_p = C_v + R$. Множитель $\gamma$ управляет адиабатическими процессами и определяет скорость звука в газе.

Частые ошибки

Использовать $C_v$ там, где нагрев идёт при постоянном давлении — тогда нужен $C_p$.
Брать $C_v=\tfrac{3}{2}R$ для воздуха: воздух двухатомен, у него $C_v=\tfrac{5}{2}R$.
Путать молярную и удельную теплоёмкость (на моль и на килограмм).

Итог

$C_p\gt C_v$ из-за работы расширения; $C_p - C_v = R$.
$C_v = \tfrac{i}{2}R$ зависит от числа степеней свободы.
Показатель адиабаты $\gamma=C_p/C_v$ управляет адиабатами.