Изопроцессы и работа газа

Урок разбирает четыре изопроцесса и учит считать работу газа в каждом.

Изопроцесс — процесс, в котором один из параметров ($T$, $p$ или $V$) остаётся постоянным.

Работа газа в общем виде — это $A = \int p\,dV$, площадь под кривой процесса на диаграмме $p$–$V$. Конкретная формула зависит от того, какой параметр зафиксирован.

Изобарный процесс ($p=\text{const}$)

Давление постоянно, поэтому работа выносится за интеграл:

$$A = p\,(V_2 - V_1)$$

p = 1.0e5        # Па (постоянное давление)
V1 = 0.002       # м^3
V2 = 0.005       # м^3
A = p * (V2 - V1)
print("Работа газа A =", A, "Дж")

Вывод:

Работа газа A = 300.0 Дж

Изотермический процесс ($T=\text{const}$)

Температура постоянна, $\Delta U = 0$, и вся теплота идёт в работу. Подставив $p=nRT/V$ в интеграл:

$$A = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$$

import math
n = 1.0; R = 8.314; T = 350.0
V1 = 0.020; V2 = 0.040
A = n * R * T * math.log(V2 / V1)
print("Изотермическая работа A =", round(A, 1), "Дж")

Вывод:

Изотермическая работа A = 2017.0 Дж

Изохорный и адиабатный

При $V=\text{const}$ объём не меняется, поэтому $A=0$, и вся теплота идёт во внутреннюю энергию. При адиабатном процессе ($Q=0$) теплообмена нет: $A = -\Delta U$, и газ совершает работу за счёт остывания. Для адиабаты выполняется $pV^\gamma = \text{const}$.

gamma = 1.4
p1 = 1.0e5; V1 = 0.001; V2 = 0.0005
p2 = p1 * (V1 / V2) ** gamma
T1 = 300.0
T2 = T1 * (V1 / V2) ** (gamma - 1)
print("После адиабатического сжатия p2 =", round(p2, 1), "Па")
print("Температура T2 =", round(T2, 1), "К")

Вывод:

После адиабатического сжатия p2 = 263901.6 Па
Температура T2 = 395.9 К

Как работает под капотом

На диаграмме $p$–$V$ работа — это всегда площадь под линией процесса. Изобара — прямоугольник, изотерма — гипербола, адиабата падает круче изотермы (показатель $\gamma\gt 1$). Именно поэтому при адиабатическом сжатии газ сильно нагревается — энергия поршня целиком идёт во внутреннюю энергию, температура растёт.

Частые ошибки

Применять $A=p\Delta V$ к изотерме, где давление меняется — там нужен логарифм.
Считать, что при изотермическом расширении внутренняя энергия растёт; $\Delta U=0$.
Забывать, что при адиабатическом сжатии температура повышается без всякого нагрева снаружи.

Итог

Работа — площадь под кривой процесса на диаграмме $p$–$V$.
Изобара: $A=p\Delta V$; изотерма: $A=nRT\ln(V_2/V_1)$; изохора: $A=0$.
Адиабата ($pV^\gamma=\text{const}$): работа за счёт изменения температуры.