Цикл Карно: η = 1 − T2/T1

Урок выводит максимально возможный КПД тепловой машины — предел Карно.

Цикл Карно — идеальный обратимый цикл из двух изотерм и двух адиабат, имеющий наибольший возможный КПД между двумя температурами.

Сади Карно в 1824 году задался вопросом: какой максимальный КПД достижим между нагревателем $T_1$ и холодильником $T_2$? Ответ оказался удивительно простым и зависит только от температур, а не от устройства машины или рода рабочего тела.

Формула предельного КПД

Для цикла Карно отношение отведённой и подведённой теплоты равно отношению температур, поэтому:

$$\eta_{\text{Карно}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$$

Это абсолютный предел: ни одна реальная машина между теми же температурами не превзойдёт его. Чем больше разрыв температур, тем выше потолок КПД.

T1, T2 = 600.0, 300.0
eta = 1 - T2 / T1
print("КПД Карно =", round(eta, 4), "=", round(eta * 100, 1), "%")
# при том же холодильнике поднимем нагреватель
for T1 in [400, 500, 600, 800, 1000]:
    print("T1 =", T1, "K  ->  eta =", round((1 - 300 / T1) * 100, 1), "%")

Вывод:

КПД Карно = 0.5 = 50.0 %
T1 = 400 K  ->  eta = 25.0 %
T1 = 500 K  ->  eta = 40.0 %
T1 = 600 K  ->  eta = 50.0 %
T1 = 800 K  ->  eta = 62.5 %
T1 = 1000 K  ->  eta = 70.0 %

Теорема Карно

КПД любой реальной машины $\eta_{\text{реал}} \le \eta_{\text{Карно}}$. Равенство достигается лишь в идеальном обратимом цикле без трения и необратимостей. Поэтому, зная только температуры, можно сразу сказать, насколько данная машина далека от теоретического предела.

Как работает под капотом

Цикл состоит из четырёх обратимых этапов: изотермическое расширение при $T_1$ (газ получает $Q_1$), адиабатическое расширение (газ остывает до $T_2$), изотермическое сжатие при $T_2$ (газ отдаёт $Q_2$), адиабатическое сжатие (газ нагревается до $T_1$). На изотермах $Q_1/T_1 = Q_2/T_2$ из равенства приращений энтропии, откуда и следует $\eta = 1 - T_2/T_1$.

Частые ошибки

Подставлять температуры в °C — нужен только Кельвин, иначе формула даёт бессмыслицу.
Считать, что КПД Карно достижим на практике; реальные машины всегда ниже из-за трения и теплопотерь.
Думать, что повышение $T_2$ повышает КПД; наоборот, нужен холодный холодильник.

Итог

Цикл Карно даёт максимальный КПД между двумя температурами.
$\eta_{\text{Карно}} = 1 - T_2/T_1$ зависит только от температур.
Любая реальная машина не превзойдёт этот предел.