Температурные напряжения

Если нагретому стержню не дать удлиниться, внутри него возникнут напряжения — иногда огромные.

Температурная деформация — изменение размеров тела при изменении температуры: $\varepsilon_t = \alpha\,\Delta T$.

Свободное расширение

При нагреве на $\Delta T$ свободный стержень удлиняется на $\Delta l_t = \alpha\, l\, \Delta T$, где $\alpha$ — коэффициент линейного температурного расширения (1/°C). Для стали $\alpha \approx 12\cdot10^{-6}$, для алюминия $\approx 23\cdot10^{-6}$, для бетона $\approx 10\cdot10^{-6}$. Относительная температурная деформация $\varepsilon_t = \alpha\,\Delta T$ не вызывает напряжений, пока стержень может свободно удлиняться.

Защемлённый стержень: рождаются напряжения

Совсем другое дело, если оба конца жёстко закреплены и удлиняться некуда. Стержень «хочет» удлиниться на $\Delta l_t$, но опоры это запрещают — фактически они сжимают его обратно на ту же величину. Возникает упругая деформация $\varepsilon = -\alpha\,\Delta T$ и напряжение по закону Гука:

$$ \sigma_t = E\,\alpha\,\Delta T $$

Замечательно, что длина и площадь сюда не входят — напряжение зависит только от материала и перепада температуры. Посчитаем для стального рельса, нагретого на 40 °C.

E = 2.1e11          # модуль Юнга стали, Па
alpha = 12e-6       # коэффициент расширения стали, 1/°C
dT = 40.0           # нагрев, °C

sigma_t = E * alpha * dT  # температурное напряжение, Па
print("Температурное напряжение =", round(sigma_t / 1e6, 1), "МПа")

Вывод:

Температурное напряжение = 100.8 МПа

100 МПа от одного только нагрева на 40 градусов! Поэтому в рельсах оставляют зазоры, в трубопроводах ставят компенсаторы, а в мостах — деформационные швы. Сжатие при нагреве может вызвать выпучивание (потерю устойчивости) пути.

Усилие в опорах

Сила, с которой стержень давит на заделки, равна $F = \sigma_t A = E\alpha\Delta T\, A$. Чем толще стержень, тем больше сила (хотя напряжение то же).

import math
E, alpha, dT = 2.1e11, 12e-6, 40.0
d = 0.05                      # диаметр 50 мм
A = math.pi * d**2 / 4
F = E * alpha * dT * A        # сила в опорах, Н
print("Сила в опорах =", round(F / 1000, 1), "кН")

Вывод:

Сила в опорах = 197.9 кН

Как работает под капотом

Полная деформация защемлённого стержня равна нулю: она складывается из температурной и упругой частей, $\varepsilon_{полн} = \varepsilon_t + \varepsilon_{упр} = 0$. Отсюда $\varepsilon_{упр} = -\alpha\Delta T$, и напряжение $\sigma = E\varepsilon_{упр} = -E\alpha\Delta T$ (знак минус — сжатие при нагреве). По модулю это и есть $E\alpha\Delta T$. Это простейшая статически неопределимая задача — её решает условие совместности деформаций, а не одно равновесие.

Частые ошибки

Считают, что свободный нагрев даёт напряжения — нет, только стеснённый.
Подставляют $\alpha$ в неверных единицах: это 1/°C, типичные значения порядка $10^{-5}$.
Забывают знак: нагрев защемлённого стержня — сжатие, охлаждение — растяжение.

Итоги

Свободная температурная деформация $\varepsilon_t = \alpha\Delta T$ напряжений не даёт.
В защемлённом стержне возникает $\sigma_t = E\alpha\Delta T$ — не зависит от длины и площади.
Сила в опорах $F = E\alpha\Delta T\, A$ растёт с площадью.
Поэтому нужны компенсаторы и деформационные швы.