Ступенчатый стержень: напряжения и перемещения

У ступенчатого стержня на каждом участке своё сечение и своя сила — значит, своё напряжение и своё удлинение.

Ступенчатый стержень — брус, у которого площадь поперечного сечения меняется по длине скачками.

Постановка задачи

Реальные детали редко имеют постоянное сечение: вал с буртиками, тяга с утолщениями. Расчёт ведут по участкам постоянного сечения. На каждом участке: своя продольная сила $N_i$, своя площадь $A_i$, значит, своё напряжение $\sigma_i = N_i/A_i$ и своё удлинение $\Delta l_i = N_i l_i/(E A_i)$. Перемещение свободного конца — сумма удлинений всех участков:

$$ \Delta l = \sum_{i} \frac{N_i\, l_i}{E\, A_i} $$

Числовой пример

Стальной стержень из двух участков, защемлён сверху, тянется вниз. Верхний участок: длина 1 м, диаметр 30 мм. Нижний: длина 0,8 м, диаметр 20 мм. К нижнему концу приложена сила 40 кН, в середине (на стыке) — дополнительная сила 20 кН вниз. Тогда нижний участок несёт 40 кН, верхний — 60 кН.

import math

E = 2.1e11
strengths = {
    # участок: (длина м, диаметр м, сила N в нём)
    "верхний": (1.0, 0.030, 60_000.0),
    "нижний":  (0.8, 0.020, 40_000.0),
}

total_dl = 0.0
for name, (l, d, N) in strengths.items():
    A = math.pi * d**2 / 4
    sigma = N / A
    dl = N * l / (E * A)
    total_dl += dl
    print(f"{name}: sigma = {sigma/1e6:6.2f} МПа, удлинение = {dl*1000:.3f} мм")

print("Перемещение конца =", round(total_dl * 1000, 3), "мм")

Вывод:

верхний: sigma =  84.88 МПа, удлинение = 0.404 мм
нижний: sigma = 127.32 МПа, удлинение = 0.485 мм
Перемещение конца = 0.889 мм

Видно, что тонкий нижний участок напряжён сильнее, хотя сила в нём меньше — площадь решает. Опасное сечение здесь нижнее.

Подбор сечения по условию прочности

Обратная задача: задано допускаемое напряжение $[\sigma]$, найти нужный диаметр. Из $\sigma = N/A \le [\sigma]$ получаем $A \ge N/[\sigma]$, откуда диаметр $d \ge \sqrt{4N/(\pi[\sigma])}$.

import math
N = 40_000.0
sigma_adm = 160e6   # допускаемое напряжение, Па
d_min = math.sqrt(4 * N / (math.pi * sigma_adm))
print("Минимальный диаметр =", round(d_min * 1000, 2), "мм")

Вывод:

Минимальный диаметр = 17.84 мм

Как работает под капотом

Принцип суперпозиции позволяет считать каждый участок независимо: перемещения складываются, потому что в линейной теории отклик пропорционален нагрузке. Перемещение узла — это накопленная сумма удлинений всех участков между ним и защемлением. Поэтому удобно идти от заделки к свободному концу, прибавляя $\Delta l_i$.

Частые ошибки

• Берут силу одного участка для всех — на каждом участке $N$ своя.
• Складывают напряжения участков — складывают удлинения, а не напряжения.
• Ищут опасное сечение по максимальной силе, а надо по максимальному напряжению (с учётом площади).

Итоги

• Ступенчатый стержень считают по участкам постоянного сечения.
• Перемещение конца $\Delta l = \sum N_i l_i/(EA_i)$.
• Опасное сечение — где максимально напряжение, а не сила.
• Подбор диаметра: $d \ge \sqrt{4N/(\pi[\sigma])}$.