Принцип трилатерации

Урок объясняет, как из времени прохождения сигнала рождаются координаты и зачем нужен четвёртый спутник.

Трилатерация — определение положения по расстояниям до нескольких точек с известными координатами (спутников), а не по углам (это была бы триангуляция).

Каждый навигационный спутник непрерывно передаёт точное время и свои координаты. Приёмник измеряет, сколько сигнал шёл, и умножает на скорость света — получает расстояние. Зная расстояние до одного спутника, вы находитесь где-то на сфере вокруг него. Два спутника — пересечение двух сфер (окружность), три — две точки, и одна из них на Земле.

Зачем четвёртый спутник

Проблема в часах приёмника: атомные часы стоят у спутников, а в телефоне — дешёвый кварц, который врёт. Ошибка часов на одну микросекунду — это 300 метров промаха. Поэтому измеренное расстояние называют псевдодальностью: оно содержит неизвестный сдвиг часов $b$, одинаковый для всех спутников. Четвёртый спутник даёт четвёртое уравнение, чтобы найти четыре неизвестных: три координаты $(x, y, z)$ и поправку часов $b$.

$$\rho_i = \sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2} + c\,b$$

Как работает под капотом

Система решает четыре таких уравнения совместно. Заодно она вычисляет точное время с атомной точностью — поэтому GPS-приёмник заодно служит сверхточными часами, на которых держится синхронизация банков, энергосетей и мобильной связи. ГЛОНАСС работает по тому же принципу трилатерации, отличаясь сигналами и орбитами (высота ≈19 100 км, наклонение 64,8°, удобное для высоких широт России).

Частые ошибки

Самое частое заблуждение — что хватает трёх спутников. Геометрически — да, но без точных часов приёмника появляется четвёртая неизвестная, и нужен четвёртый аппарат. Вторая ошибка — путать трилатерацию (по расстояниям) с триангуляцией (по углам): GPS использует именно расстояния. Третья — думать, что спутник «знает», где вы; на деле всю работу делает приёмник, спутник лишь вещает время и эфемериды.

Итог

• Расстояние = время прохождения сигнала × скорость света.
• Три сферы дают точку, но часы приёмника неточны — это четвёртая неизвестная.
• Нужны минимум 4 спутника: три координаты + поправка часов $b$.
• GPS заодно выдаёт атомно-точное время; ГЛОНАСС — тот же принцип, иные орбиты.