Расчёт по псевдодальностям

Урок показывает на числах, как время сигнала превращается в расстояние и как сдвиг часов искажает результат.

Псевдодальность — произведение измеренного времени прохождения сигнала на скорость света; «псевдо» — потому что в неё входит ошибка часов приёмника.

Сигнал летит со скоростью света $c = 299\,792\,458$ м/с. Если он шёл время $\Delta t$, то расстояние:

$$\rho = c \cdot \Delta t$$

Спутники СОО находятся на высоте около 20 000 км, поэтому сигнал идёт примерно 67 миллисекунд. Кажется, что мелочь, но ошибка измерения времени даже в наносекунды смещает дальность на десятки сантиметров.

Считаем дальность и цену ошибки часов

c = 299792458.0

dt = 0.067            # время прохождения сигнала, с
rho = c * dt
print(f"Псевдодальность: {rho/1000:.1f} км")

# во что обходится ошибка часов
for err_s, name in [(1e-6, "1 мкс"), (1e-9, "1 нс")]:
    print(f"Ошибка часов {name}: смещение дальности {c*err_s:.2f} м")

Вывод:

Псевдодальность: 20086.1 км
Ошибка часов 1 мкс: смещение дальности 299.79 м
Ошибка часов 1 нс: смещение дальности 0.30 м

Расстояние до спутника — около 20 000 км, как и положено для СОО. А цена точности часов наглядна: микросекунда промаха часов — это 300 метров ошибки позиции, наносекунда — 30 сантиметров. Вот почему на спутниках стоят атомные часы, а приёмник вычисляет поправку своих часов через четвёртый спутник.

Как работает под капотом

Реальный приёмник не «засекает старт» — он сравнивает принятый псевдослучайный код спутника со своей копией и измеряет сдвиг, что и даёт $\Delta t$. Затем система четырёх уравнений из прошлого урока решается итеративно (методом Ньютона по линеаризации), потому что уравнения нелинейны из-за корней. Эфемериды (точные координаты спутников) передаются в самом навигационном сообщении.

Частые ошибки

Часто думают, что главный источник ошибки — слабая антенна. На деле основные ошибки — это часы, задержка сигнала в ионосфере и тропосфере (сигнал слегка тормозит в среде) и переотражения от зданий (многолучёвость). Вторая ошибка — забывать, что $\Delta t$ нужно измерять чрезвычайно точно: тут счёт идёт на наносекунды.

Итог

Дальность = скорость света × время прохождения: $\rho = c\,\Delta t$.
До СОО-спутника ≈20 000 км, сигнал идёт ≈67 мс.
Ошибка часов 1 мкс = 300 м, 1 нс = 30 см — отсюда атомные часы на борту.
$\Delta t$ измеряют сравнением кодов; систему уравнений решают итеративно.