Формула тяги и поток массы

Урок выводит главную формулу двигателя — тягу через расход массы и скорость истечения.

Тяга — сила, с которой двигатель толкает ракету; в первом приближении она равна произведению секундного расхода массы на скорость истечения газа.

От импульса к силе

Сила — это скорость изменения импульса во времени: $F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$. За секунду двигатель выбрасывает массу $\dot m$ (читается «эм с точкой» — расход массы, кг/с) со скоростью истечения $u$. Эта масса уносит импульс $\dot m\, u$ каждую секунду, значит на ракету действует сила:

$$ F = \dot m\, u $$

Это идеализированная формула. В реальности есть ещё поправка на разницу давлений на срезе сопла, но для понимания сути её достаточно.

Что она говорит инженеру

Чтобы получить большую тягу, есть два рычага: лить больше топлива в секунду (рост $\dot m$) или разгонять газ до большей скорости (рост $u$). Первый путь — это «много и грубо» (так делают мощные первые ступени), второй — «эффективно» (так экономят топливо). Между ними всегда компромисс.

Расчёт тяги

Пусть двигатель сжигает 250 кг топлива в секунду, скорость истечения газа 3000 м/с. Какова тяга?

import math

mdot = 250.0    # расход массы, кг/с
u = 3000.0      # скорость истечения, м/с

F = mdot * u
print("Тяга:", F, "Н")
print("Тяга:", round(F / 1000, 1), "кН")
print("Это вес тела массой", round(F / 9.81), "кг на Земле")

Вывод:

Тяга: 750000.0 Н
Тяга: 750.0 кН
Это вес тела массой 76453 кг на Земле

Тяговооружённость

Чтобы ракета вообще оторвалась от стартового стола, тяга должна превышать её вес. Отношение тяги к весу называют тяговооружённостью: $\dfrac{F}{m g}$. Если оно меньше единицы — ракета стоит на месте, сжигая топливо впустую. У стартующих ракет оно обычно 1.2–1.5.

import math

F = 750000.0     # тяга, Н
m = 60000.0      # стартовая масса, кг
g = 9.80665

weight = m * g
twr = F / weight
print("Вес ракеты:", round(weight), "Н")
print("Тяговооружённость:", round(twr, 2))
print("Оторвётся?", "да" if twr > 1 else "нет")

Вывод:

Вес ракеты: 588399 Н
Тяговооружённость: 1.27
Оторвётся? да

Как работает под капотом

Скорость истечения $u$ задаётся термодинамикой сопла: чем выше температура и давление в камере и чем сильнее газ расширяется в сопле, тем больше тепловая энергия превращается в направленную кинетическую. Расход $\dot m$ задаётся пропускной способностью камеры и насосов. Тяга — их произведение, поэтому инженеры оптимизируют оба параметра одновременно.

Частые ошибки

Считать тягу постоянной всю дорогу. По мере подъёма падает атмосферное давление, и тяга растёт (вакуумная тяга больше уровневой). Расход тоже может регулироваться.
Забывать про тяговооружённость. Огромная тяга бессмысленна, если ракета слишком тяжёлая, чтобы оторваться.
Путать тягу и удельный импульс. Тяга — это «сила сейчас», а удельный импульс — «экономичность» (следующий урок).

Итоги

Тяга равна расходу массы на скорость истечения: $F = \dot m\, u$.
Поднять тягу можно расходом или скоростью истечения — это разные стратегии.
Чтобы взлететь, нужна тяговооружённость больше единицы.