Задание 24-25: элемент стереометрии

Разбираем формулы объёма и площади поверхности для самых частых фигур в задании и решаем практическую задачу целиком.

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве (в отличие от планиметрии, где всё лежит на одной плоскости).

Почему это задание пугает больше, чем должно

Стереометрия в ОГЭ выглядит устрашающе только из-за непривычных слов — «образующая», «полная поверхность», «осевое сечение». На деле здесь нужно знать буквально 4-5 формул и уметь аккуратно в них подставлять числа. В отличие от планиметрических задач 21-22, тут почти не требуется доказывать — в основном нужно правильно распознать фигуру и посчитать по формуле, часто в практическом контексте (бак, труба, ёмкость).

Базовые формулы, которые нужно знать наизусть

Три фигуры встречаются чаще всего: цилиндр, конус и шар. Вот их формулы объёма ($V$) и площади полной поверхности ($S$), где $r$ — радиус основания, $h$ — высота, $l$ — образующая (для конуса — расстояние от вершины до края основания по боковой поверхности):

Полезно запомнить логику, а не только буквы: объём цилиндра — это просто «площадь основания $\times$ высота» (как у призмы), а объём конуса — ровно треть от объёма цилиндра с теми же основанием и высотой. Площадь поверхности каждой фигуры складывается из боковой поверхности плюс основания (у цилиндра их два круга, у конуса — один).

Для конуса образующую $l$ часто приходится находить отдельно — она связана с радиусом и высотой через теорему Пифагора, потому что радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник (высота перпендикулярна основанию, радиус лежит в основании, образующая — гипотенуза):

$$ l = \sqrt{r^2 + h^2} $$

Пример 1. Объём и поверхность конуса

Дан конус с радиусом основания $r = 3$ см и высотой $h = 4$ см. Найдём объём и полную площадь поверхности.

Сначала объём:

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37.7 \text{ см}^3 $$

Теперь найдём образующую — узнаём в $r$, $h$, $l$ прямоугольный треугольник со сторонами $3$, $4$ и гипотенузой, а тройка $(3,4,5)$ — самая известная пифагорова тройка:

$$ l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} $$

И полная площадь поверхности:

$$ S = \pi r l + \pi r^2 = \pi \cdot 3 \cdot 5 + \pi \cdot 9 = 15\pi + 9\pi = 24\pi \approx 75.4 \text{ см}^2 $$

Пример 2. Практическая задача — силосная башня

Такие задачи в ОГЭ часто одеты в жизненный контекст: бак, палатка, труба, башня. Разберём задачу целиком, с оформлением, как на экзамене.

Силосная башня для хранения зерна состоит из цилиндрической части радиусом $2$ м и высотой $6$ м, на которую сверху установлена коническая крыша высотой $1.5$ м с тем же радиусом основания. Найдите объём всей башни (крыша внутри тоже используется как объём хранения). Ответ округлите до целых кубических метров. Считайте $\pi \approx 3.14$.

Шаг 1. Определить, из каких фигур состоит тело. Башня — это цилиндр с конусом на нём, значит, общий объём — это сумма объёма цилиндра и объёма конуса, потому что тела просто поставлены друг на друга без пересечения.

Шаг 2. Найти объём цилиндрической части.

$$ V_{цил} = \pi r^2 h = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 24\pi \text{ м}^3 $$

Шаг 3. Найти объём конической части. Радиус тот же самый ($r = 2$ м), высота конуса — $1.5$ м:

$$ V_{конус} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 1.5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 6 = 2\pi \text{ м}^3 $$

Шаг 4. Сложить и подставить число $\pi$.

$$ V = V_{цил} + V_{конус} = 24\pi + 2\pi = 26\pi \approx 26 \cdot 3.14 = 81.64 \approx 82 \text{ м}^3 $$

Ответ: примерно $82$ м³. Заметь, как в шаге 4 важно было сначала сложить коэффициенты при $\pi$ (получить $26\pi$), а только потом подставлять численное значение $\pi$ — так меньше шансов ошибиться в вычислениях, и эксперту проще проверить логику.

Как быстро распознать фигуру в условии

Несколько сигнальных слов, которые подсказывают, какую формулу доставать: «труба», «банка», «бак прямой формы» — почти всегда цилиндр; «шатёр», «воронка», «крыша башни», «шапка мороженого» — конус; «мяч», «глобус», «планета» — шар. Если фигура составная (как в примере с башней), первым делом раздели её на простые части — это самый надёжный способ не запутаться.

Частые ошибки

Первая — путают формулу объёма конуса с формулой объёма цилиндра, забывая множитель $\frac{1}{3}$ — это одна из самых частых потерь баллов в этом задании. Вторая — при вычислении образующей конуса используют высоту вместо радиуса или наоборот, хотя по теореме Пифагора важно, какой катет какой. Третья — в составных телах складывают не те величины: например, складывают радиусы вместо объёмов, или забывают, что у составного тела одна из «внутренних» границ (там, где конус стоит на цилиндре) не входит в площадь поверхности, потому что она находится внутри тела, а не снаружи. Четвёртая — забывают округлить ответ так, как просит условие, или, наоборот, округляют слишком рано, до финального сложения, из-за чего накапливается ошибка.

Итог: стереометрическое задание почти всегда сводится к трём формулам объёма (цилиндр, конус, шар) и аккуратной работе с числами. Если тело составное — раздели его на простые части, посчитай каждую отдельно и только в конце сложи результаты, подставляя приближённое значение $\pi$ на самом последнем шаге.