Задание 21-22: планиметрическая задача с доказательством

Учимся превращать чертёж в цепочку логических шагов — именно так устроено доказательство в заданиях 21-22.

Доказательство — цепочка утверждений, где каждое следующее опирается на предыдущее и на уже известные теоремы, а не на то, что «так видно на рисунке».

Почему «так на чертеже видно» не работает

Самая частая ошибка в заданиях 21-22 — школьник смотрит на чертёж, видит, что углы «явно равны», и пишет это как факт без обоснования. Эксперт с такой формулировкой не согласится: чертёж в задаче ОГЭ не обязан быть построен точно (это просто иллюстрация условия), а доказывать нужно строго — через признаки, свойства и теоремы, которые ты уже проходил. Задание 21 обычно проще — это задача на вычисление (найти длину, угол, площадь), а задание 22 — это уже задача именно на доказательство утверждения («докажите, что...»). Разберём алгоритм, который работает для обоих.

Алгоритм: от чертежа к доказательству

Работать нужно в четыре шага:

Прочитать условие и мысленно (или на черновике) построить чертёж — отметить все данные величины прямо на нём.
Найти, что из условия следует «бесплатно» — например, если сказано, что прямые параллельны, сразу вспомнить про накрест лежащие и соответственные углы.
Понять, какую теорему или признак нужно применить, чтобы связать данные величины с тем, что нужно найти или доказать.
Записать доказательство пошагово, у каждого шага явно указывая, на основании чего он сделан.

Типовая задача на подобие треугольников

Разберём задачу, которая часто встречается в такой форме: в треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечена точка $D$, а на стороне $AC$ — точка $E$, причём отрезок $DE$ параллелен стороне $BC$. Известно, что $AD = 4$ см, $DB = 6$ см, $BC = 15$ см. Найдите длину отрезка $DE$.

Опишем чертёж словами, раз нарисовать его нельзя: треугольник $ABC$, где $A$ — верхняя вершина, $B$ и $C$ — нижние вершины основания. Точка $D$ лежит на боковой стороне $AB$ ближе к вершине $A$, точка $E$ — на боковой стороне $AC$, примерно на той же высоте, что и $D$. Отрезок $DE$ соединяет их и идёт параллельно нижнему основанию $BC$, то есть внутри треугольника получается маленький треугольник $ADE$, «отрезанный» от большого треугольника $ABC$ линией, параллельной основанию.

Шаг 1 (что следует из условия). Раз $DE \parallel BC$, а стороны $AB$ и $AC$ — это секущие, пересекающие пару параллельных прямых, то по свойству параллельных прямых соответственные углы равны:

$$ \angle ADE = \angle ABC, \quad \angle AED = \angle ACB $$

Шаг 2 (какой признак применить). У треугольников $ADE$ и $ABC$ совпадает угол при вершине $A$ (он общий для обоих треугольников), и, как только что показали, ещё по одному углу равны попарно. По первому признаку подобия треугольников (по двум углам) получаем:

$$ \triangle ADE \sim \triangle ABC $$

Шаг 3 (составить пропорцию). Раз треугольники подобны, их сходственные стороны пропорциональны — сторона $AD$ относится к целой стороне $AB$ так же, как сторона $DE$ относится к стороне $BC$ (обе пары сторон лежат «на одном месте» в подобных треугольниках — выходят из общей вершины $A$ и из вершины $B$/$C$ соответственно):

$$ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} $$

Шаг 4 (подставить числа). Сначала найдём всю сторону $AB$:

$$ AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 \text{ см} $$

Теперь подставляем в пропорцию известные величины и находим $DE$:

$$ \frac{4}{10} = \frac{DE}{15} \implies DE = \frac{4 \cdot 15}{10} = 6 \text{ см} $$

Ответ: $DE = 6$ см. Обрати внимание: в оформлении важно не просто получить число, а показать все четыре шага — иначе эксперт увидит только «угадывание» ответа, а не доказанное решение.

Если задание именно «докажите, что...»

Структура почти та же, только в конце вместо числа — итоговое утверждение. Например, если бы условие звучало «докажите, что $\triangle ADE \sim \triangle ABC$», то шаги 1 и 2 из разбора выше уже были бы полным решением — до пропорции с числами дело можно вообще не доводить, потому что доказывалось именно подобие, а не конкретная длина. Важно точно понимать, что именно спрашивает условие: «докажите» требует логической цепочки к утверждению, «найдите» требует ещё и финального числа.

Ещё один частый сюжет — равнобедренный треугольник

Кроме подобия, в заданиях 21-22 часто встречается доказательство через свойства равнобедренного треугольника: если в треугольнике проведена биссектриса, медиана или высота из вершины между равными сторонами, все три этих отрезка совпадают в одну и ту же линию. Например, если условие просит «докажите, что отрезок $BM$ — высота», а из чертежа известно, что $BM$ — медиана равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ (то есть $AM = MC$), доказательство строится так: треугольники $ABM$ и $CBM$ равны по трём сторонам (боковые стороны $AB=CB$ по условию равнобедренности, $AM=MC$ по условию медианы, $BM$ — общая сторона), значит, равны и углы $\angle BMA$ и $\angle BMC$. Эти углы в сумме дают развёрнутый угол $180°$, а раз они ещё и равны между собой, каждый из них равен $90°$ — то есть $BM$ действительно перпендикулярна основанию и является высотой. Это готовый шаблон рассуждения, который стоит держать в голове: «медиана к основанию равнобедренного треугольника = высота = биссектриса» — и это тоже требует доказательства через признак равенства, а не просто ссылки на «известное свойство».

Частые ошибки

Первая — ссылаются на равенство углов «по чертежу», без опоры на теорему о параллельных прямых или другой признак. Вторая — в пропорции подобных треугольников путают, какая сторона какой стороне соответствует (сторона, лежащая напротив общего угла в маленьком треугольнике, должна соответствовать стороне, лежащей напротив того же угла в большом, а не первой попавшейся). Третья — забывают, что $AB$ — это сумма $AD$ и $DB$, а не отдельно данное число, и подставляют в пропорцию только $AD$, получая неверный результат. Четвёртая — в задачах «докажите» всё равно пытаются вычислить конкретное число, хотя оно не требуется и не следует из условия.

Итог: доказательство в планиметрии — это не «что видно на чертеже», а цепочка «дано → свойство → признак → вывод». Для типовых задач на подобие ищи общий угол и параллельные линии — это почти всегда ключ к первому признаку подобия, а дальше остаётся аккуратно составить и решить пропорцию.