Кристаллические решётки: ОЦК, ГЦК, ГПУ

Урок разбирает три главные металлические решётки и учит считать, сколько атомов реально приходится на элементарную ячейку.

Элементарная ячейка — наименьший повторяющийся «кирпичик» кристалла, трансляцией которого строится вся решётка.

Большинство металлов кристаллизуется в одной из трёх решёток: объёмноцентрированной кубической (ОЦК), гранецентрированной кубической (ГЦК) и гексагональной плотноупакованной (ГПУ). Тип решётки влияет на пластичность, склонность к хрупкому разрушению и даже на то, как металл ведёт себя на морозе.

Зачем это инженеру

ГЦК-металлы (медь, алюминий, аустенитная сталь) пластичны при любой температуре. ОЦК-металлы (железо при комнатной температуре, хром) при охлаждении становятся хрупкими — это причина известных аварий судов в холодных водах. Зная решётку, вы заранее понимаете риски.

Три решётки и их «начинка»

Атомы на углах и гранях ячейки делятся с соседними ячейками, поэтому в ячейку входит лишь их доля. Угловой атом принадлежит 8 ячейкам (вклад $1/8$), атом на грани — 2 ячейкам (вклад $1/2$), атом внутри — целиком.

Для ОЦК: 8 углов по $1/8$ плюс 1 центральный атом — итого $8\cdot\tfrac{1}{8}+1=2$. Для ГЦК: 8 углов по $1/8$ плюс 6 граней по $1/2$ — итого $8\cdot\tfrac{1}{8}+6\cdot\tfrac{1}{2}=4$.

Как работает под капотом

Связь между радиусом атома $R$ и параметром ячейки $a$ задаётся тем, вдоль какого направления атомы касаются. В ОЦК атомы соприкасаются вдоль пространственной диагонали куба длиной $a\sqrt{3}$, на которой укладываются $4R$:

$$ a\sqrt{3} = 4R \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4R}{\sqrt{3}} $$

В ГЦК атомы касаются вдоль диагонали грани длиной $a\sqrt{2}=4R$, откуда $a = \dfrac{4R}{\sqrt{2}} = 2R\sqrt{2}$. Посчитаем число атомов и параметр ячейки прямо в коде.

import math

R = 0.124  # радиус атома железа, нм

# Число атомов на ячейку
bcc_atoms = 8 * (1/8) + 1
fcc_atoms = 8 * (1/8) + 6 * (1/2)
print("ОЦК атомов/ячейку:", bcc_atoms)
print("ГЦК атомов/ячейку:", fcc_atoms)

# Параметр ячейки
a_bcc = 4 * R / math.sqrt(3)
a_fcc = 4 * R / math.sqrt(2)
print("a(ОЦК) =", round(a_bcc, 4), "нм")
print("a(ГЦК) =", round(a_fcc, 4), "нм")

Вывод:

ОЦК атомов/ячейку: 2.0
ГЦК атомов/ячейку: 4.0
a(ОЦК) = 0.2864 нм
a(ГЦК) = 0.3507 нм

Полученное $a\approx0.286$ нм для ОЦК-железа отлично совпадает со справочным значением $0.287$ нм — модель работает.

Тип решётки влияет не только на пластичность, но и на число систем скольжения — плоскостей и направлений, по которым легко движутся дислокации. У ГЦК таких систем двенадцать, и они активны при любой температуре, поэтому медь и алюминий пластичны даже на морозе. У ГПУ систем скольжения мало, отчего магний и цинк хрупковаты и плохо деформируются в холодном состоянии. У ОЦК систем формально много, но они «замораживаются» при охлаждении — отсюда хладноломкость. Так одно геометрическое свойство ячейки тянет за собой целую цепочку технологических последствий: можно ли металл штамповать на холоде, как он поведёт себя зимой, нужна ли горячая обработка.

Полезно помнить и про полиморфизм: один и тот же металл может иметь разные решётки при разных температурах. Железо ниже 911 °C — ОЦК (α-железо), выше — ГЦК (γ-железо, аустенит), и именно эта перестройка делает возможной всю термообработку стали.

Частые ошибки

• Считать угловой атом целым: он даёт лишь $1/8$, иначе число атомов завышается вчетверо.
• Применять формулу касания вдоль ребра — атомы в ОЦК и ГЦК касаются вдоль диагоналей, а не рёбер.
• Путать ГПУ с простой гексагональной: «плотноупакованная» означает определённое отношение высоты к стороне ($c/a\approx1.633$).

Итоги

• ОЦК — 2 атома/ячейку, ГЦК — 4, ГПУ — 6.
• Координационное число ГЦК и ГПУ равно 12 — это плотнейшие упаковки.
• Параметр $a$ связан с радиусом через направление касания атомов.
• Тип решётки управляет пластичностью и хладноломкостью.