Коэффициент упаковки атомов

Урок учит вычислять, какую долю объёма решётки занимают сами атомы, и показывает, почему предел плотной упаковки — 74 %.

Коэффициент упаковки (APF) — отношение суммарного объёма атомов в ячейке к объёму самой ячейки.

Атомы можно представить твёрдыми шарами. Даже в плотнейшей укладке между шарами остаётся пустота. Коэффициент упаковки $\eta$ говорит, насколько эффективно заполнено пространство, и напрямую связан с плотностью металла.

Зачем это инженеру

Плотность сплава, его теплоёмкость на единицу объёма и поведение при фазовых превращениях зависят от упаковки. Когда железо при нагреве переходит из ОЦК в ГЦК, упаковка растёт с 0,68 до 0,74 — и металл... сжимается, хотя его нагрели. Этот контринтуитивный эффект важен при термообработке.

Формула

Коэффициент упаковки считается так:

$$ \eta = \frac{n \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{a^3} $$

где $n$ — число атомов на ячейку, $R$ — радиус атома, $a$ — параметр ячейки. Для ГЦК подставим $a = 2R\sqrt{2}$ и $n=4$:

$$ \eta_{ГЦК} = \frac{4\cdot\frac{4}{3}\pi R^3}{(2R\sqrt{2})^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}74 $$

Как работает под капотом

Заметьте: радиус $R$ сокращается. Коэффициент упаковки — чисто геометрическая величина, не зависящая от того, какой это металл. Любой ГЦК-металл, будь то алюминий или золото, имеет $\eta\approx0{,}74$. Посчитаем все три решётки одним скриптом.

import math

def apf(n, a_over_R):
    # объём атомов / объём ячейки, R сокращается -> берём R=1
    R = 1.0
    a = a_over_R * R
    return n * (4/3) * math.pi * R**3 / a**3

# a/R: ОЦК = 4/√3, ГЦК = 4/√2
bcc = apf(2, 4/math.sqrt(3))
fcc = apf(4, 4/math.sqrt(2))
print("ОЦК APF =", round(bcc, 4))
print("ГЦК APF =", round(fcc, 4))
print("ГПУ APF =", round(fcc, 4), "(совпадает с ГЦК)")

Вывод:

ОЦК APF = 0.6802
ГЦК APF = 0.7405
ГПУ APF = 0.7405 (совпадает с ГЦК)

ГПУ и ГЦК — две разные укладки одинаково плотных слоёв, поэтому их APF одинаков (0,74). ОЦК заметно «рыхлее»: 0,68.

Связь с плотностью

Зная APF, число атомов и массу атома, можно вычислить плотность металла:

$$ \rho = \frac{n \cdot A}{N_A \cdot a^3} $$

где $A$ — атомная масса, $N_A$ — число Авогадро. Эта формула даёт плотность железа около $7{,}9\ \text{г/см}^3$ — ровно то, что измеряют.

Между атомами в решётке остаются пустоты — междоузлия. В ГЦК различают октаэдрические и тетраэдрические поры; их размер определяет, сколько и каких примесных атомов поместится между основными, не раздвигая решётку. Именно поэтому углерод (мелкий атом) растворяется в ГЦК-железе (аустените) до 2,14 %, а в более рыхлой, но с мелкими порами ОЦК-решётке (феррите) — лишь до 0,02 %. Парадокс «рыхлая решётка хуже растворяет внедрённый атом» снимается, как только мы смотрим не на общую пустоту, а на размер отдельной поры. Так абстрактный коэффициент упаковки превращается в практический прогноз растворимости, лежащий в основе диаграммы железо-углерод.

Частые ошибки

• Думать, что APF зависит от металла — он зависит только от типа решётки.
• Считать, что плотнейшая упаковка заполняет 100 % — предел всего 74 %, между шарами всегда есть пустоты.
• Забывать перевести параметр ячейки в правильные единицы при расчёте плотности.

Итоги

• APF — доля объёма ячейки, занятая атомами.
• ОЦК: 0,68; ГЦК и ГПУ: 0,74 (плотнейшая упаковка).
• APF чисто геометричен и не зависит от металла.
• Через APF и атомную массу выводится плотность.