Степени, индексы, дроби и корни

Урок — базовый математический «алфавит»: степени, индексы, дроби и корни.

Степень задаётся символом ^, индекс — символом _; то, что относится к ним более чем из одного символа, заключают в фигурные скобки.

Это четыре кирпичика, из которых складывается почти любая формула. Освоив их, вы наберёте большинство школьных и вузовских выражений.

Степени и индексы

x^2 \quad a_i \quad x^{10} \quad a_{ij} \quad x_i^2

$$x^2 \quad a_i \quad x^{10} \quad a_{ij} \quad x_i^2$$

Ключевое правило: ^ и _ действуют на один следующий символ. Чтобы возвести в степень 10 (две цифры), нужны скобки: x^{10}. Без них x^10 даст «икс в степени 1, затем 0» — частая ошибка.

Дроби

Дробь — это \frac{числитель}{знаменатель}:

\frac{a}{b} \qquad \frac{1}{2} \qquad \frac{x+1}{x-1}

$$\frac{a}{b} \qquad \frac{1}{2} \qquad \frac{x+1}{x-1}$$

Дроби вкладываются: числитель или знаменатель сами могут быть дробью.

\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}

$$\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$$

Корни

Квадратный корень — \sqrt{...}; корень степени n — \sqrt[n]{...}:

\sqrt{2} \qquad \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \sqrt[3]{8}

$$\sqrt{2} \qquad \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \sqrt[3]{8}$$

Собираем формулу

Корни школьного квадратного уравнения — отличный полигон для всех четырёх кирпичиков сразу:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Разберём: индекс _{1,2} у икса, дробь \frac{...}{...}, под корнем \sqrt{b^2 - 4ac} со степенью b^2, и знак «плюс-минус» \pm. Всё читается как обычная формула — в этом красота LaTeX.

Как работает под капотом

Аргументом ^, _ и команд вроде \sqrt служит группа — либо один символ-«токен», либо всё в фигурных скобках. Движок берёт эту группу как единое целое и размещает её приподнятой/опущенной/под радикалом, автоматически уменьшая кегль вложенных уровней (степень в степени мельче). Команды \quad и \qquad вставляют пробелы фиксированной ширины (один и два «em») — в матрежиме обычные пробелы игнорируются, поэтому интервалы задают так.

Частые ошибки

• x^10 вместо x^{10} — в степень уйдёт только первая цифра.
• Дробь без скобок вокруг суммы: \frac{a+b}{c} правильно, а \frac a+b c — каша.
• Пробелы для красоты внутри формулы — не работают; нужны \,, \quad.

Итоги

• ^ — степень, _ — индекс; на несколько символов нужны {}.
• \frac{a}{b} — дробь (вкладывается), \sqrt{} и \sqrt[n]{} — корни.
• Из этих кирпичиков собирается формула любой сложности.

Размер дроби: displaystyle и textstyle

Одна и та же команда \frac рисует дробь по-разному в зависимости от «стиля» текущего места. В выключной формуле действует крупный стиль (displaystyle): числитель и знаменатель набираются полноразмерно, дробь высокая и читаемая. В строке среди текста включается компактный стиль (textstyle): дробь мельче, чтобы не разгонять межстрочный интервал. Поэтому строчная \frac{1}{2} выглядит приземистой, а та же дробь в выноске — крупной. Это не баг, а сознательная типографская мера.

Когда мелкая строчная дробь мешает читать, её принудительно делают крупной командой \dfrac (display-дробь) из пакета amsmath — она всегда рисует дробь так, будто та в выключном режиме. Зеркальная команда \tfrac делает обратное: всегда компактную дробь, даже внутри выключной формулы. Это удобно, например, для коэффициента вроде «одна вторая» перед большим выражением, который не должен перетягивать на себя внимание. Парой \dfrac/\tfrac вы управляете размером точечно, не трогая режим всей формулы.

Тот же механизм стилей объясняет, почему вложенные степени и индексы мельчают: каждый следующий уровень переходит в «скриптовый» стиль, а ещё глубже — в «скрипт-скриптовый», и кегль уменьшается. Обычно это правильно: степень в степени и должна быть мельче. Но иногда хочется, чтобы маленький элемент остался крупным — тогда его оборачивают в \displaystyle прямо внутри формулы. Злоупотреблять этим не стоит: насильно увеличенные подвыражения часто наезжают на соседние строки и ломают аккуратную верстку.

Несколько практических привычек уберегут от типичных промахов с дробями. Длинные цепные дроби почти всегда читаются хуже, чем то же выражение с косой чертой / или с вынесенным за скобки множителем — выбирайте форму по смыслу, а не по привычке. Если числитель или знаменатель сам содержит сумму, заключайте его в скобки уже на уровне смысла, чтобы не путать читателя. А корень и дробь рядом удобно проверять по высоте: радикал \sqrt автоматически вытягивается над содержимым, поэтому \sqrt{\frac{a}{b}} выйдет аккуратным без всяких ручных подгонок.