Греческие буквы, суммы и интегралы

Урок про «тяжёлую артиллерию» формул: греческие буквы и большие операторы — суммы, произведения, интегралы.

Большие операторы (\sum, \prod, \int) — символы с пределами, которые задаются через _ (нижний) и ^ (верхний).

Серьёзная математика немыслима без греческого алфавита и знаков суммы/интеграла. В LaTeX каждый из них — это запоминающаяся команда.

Греческие буквы

Строчные — это имя буквы с обратной косой; прописные — с заглавной первой буквой:

\alpha \beta \gamma \delta \theta \lambda \mu \pi \sigma \omega

$$\alpha \; \beta \; \gamma \; \delta \; \theta \; \lambda \; \mu \; \pi \; \sigma \; \omega$$

\Gamma \Delta \Theta \Lambda \Pi \Sigma \Omega

$$\Gamma \; \Delta \; \Theta \; \Lambda \; \Pi \; \Sigma \; \Omega$$

Полезный пример из статистики — нормальное распределение с параметрами $\mu$ (среднее) и $\sigma$ (стандартное отклонение).

Суммы и произведения

Пределы пишутся как индекс и степень самого оператора:

\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}

$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$

\prod_{k=1}^{n} k = n!

$$\prod_{k=1}^{n} k = n!$$

Интегралы

Определённый интеграл — пределы тем же способом; \, ставит тонкий пробел перед dx (так принято типографски):

\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}

$$\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$$

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$$

Здесь же видно \infty (бесконечность) и сложную степень e^{-x^2}.

Полезные символы анализа

Частная производная в деле — определение градиента:

\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)

$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$$

Как работает под капотом

Большие операторы — особый класс символов с «пределами». В выключном режиме движок ставит индекс/степень под и над знаком, в строчном — сбоку (чтобы не разгонять межстрочный интервал). Греческие буквы — просто именованные глифы из математического шрифта. Заметьте: \leq, \geq и подобные нужны потому, что вводить буквальные знаки сравнения внутри LaTeX-исходника неудобно и небезопасно — командные имена однозначны и переносимы.

Частые ошибки

• Писать sum или int без обратной косой — получите буквы «s u m», а не знак суммы.
• Путать пределы у строчных операторов — в строке они уезжают вбок, это нормально.
• Забыть \, перед dx — формула читается, но выглядит «слипшейся».

Итоги

• Греческие буквы — команды по имени; прописные начинаются с заглавной.
• Пределы сумм, произведений и интегралов задаются через _ и ^.
• Есть готовые команды для $\partial$, $\nabla$, $\infty$ и знаков сравнения.

Где встают пределы: limits и nolimits

По умолчанию большие операторы ведут себя «умно»: в выключной формуле \sum и \prod ставят пределы над и под знаком, а в строке — справа индексами, чтобы не раздувать межстрочный интервал. Иногда хочется переопределить это поведение. Команда \limits после оператора заставляет пределы встать сверху и снизу даже в строке, а \nolimits — наоборот, прижимает их сбоку даже в выноске. Пишут это сразу за знаком: \sum\limits_{i=1}^{n} или \sum\nolimits_{i=1}^{n}. Инструмент полезный, но без нужды его лучше не трогать — стандартное поведение почти всегда правильнее.

У интегралов договорённость иная: \int по традиции ставит пределы сбоку даже в выключном режиме, потому что так принято в большинстве математических текстов. Если вы хотите видеть пределы над и под знаком интеграла, добавьте \limits вручную. А вот значки суммы и произведения по умолчанию тяготеют к «верх-низ» в выноске. Эта разница в умолчаниях — не каприз, а отражение давней печатной традиции, и LaTeX просто следует ей.

Стоит запомнить и про прямое начертание имён операторов. Команды вроде \sin, \cos, \log, \det, \lim рисуются прямым (не наклонным) шрифтом, тогда как обычные буквы в матрежиме — курсивом. Причина смысловая: \sin — это имя функции, единый знак, а вот sin, набранное буквами, LaTeX поймёт как произведение трёх переменных s, i и n и наклонит каждую. Прямое начертание визуально отделяет «названия» от «переменных» — поэтому всегда набирайте функции командами, а не буквами.

Когда под пределом суммы стоит сразу несколько условий, их аккуратно размещают друг под другом командой \substack из amsmath. Например, индекс суммирования и дополнительное ограничение пишут как \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{n} — внутри \substack строки разделяются двойной обратной косой. Без неё пришлось бы тесниться в одну строчку и формула стала бы нечитаемой. Этот приём особенно выручает в комбинаторике и теории вероятностей, где у суммы нередко два-три условия.