Хорды и касательные

Что общего у окружности и колеса велосипеда — и почему касательная всегда «перпендикулярна спице».

Касательная — прямая, которая касается окружности ровно в одной точке и не пересекает её.

Представь себе колесо

Возьми велосипедное колесо и посмотри на землю в точке, где колесо её касается. Земля — это прямая линия. Колесо (окружность) касается её только в одной точке — прямо под осью. Если продолжить землю влево и вправо, она нигде больше не пересечёт колесо. Вот это и есть касательная.

А теперь мысленно проведи линию от центра колеса (оси) до точки касания — это радиус. Что ты заметишь? Спица, идущая к точке касания, стоит строго вертикально к земле. Земля и спица образуют прямой угол 90°. Это не совпадение для одного колеса — это работает для любой окружности и любой касательной всегда.

Строгое определение и теорема

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Прямая $a$ называется касательной к окружности, если она имеет с окружностью ровно одну общую точку — точку касания $A$.

Ключевое свойство касательной, которое пригодится тебе на любой задаче:

$$ OA \perp a $$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. И наоборот: если прямая перпендикулярна радиусу в его конце, лежащем на окружности, — она касательная.

Отрезки касательных из одной точки

Часто в задачах из внешней точки $M$ (которая лежит вне окружности) проводят к окружности не одну, а две касательные — они коснутся окружности в разных точках, назовём их $A$ и $B$. Здесь работает вторая важная теорема:

$$ MA = MB $$

Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки, равны между собой. Треугольник $MAO$ и треугольник $MBO$ при этом — прямоугольные и равные (по гипотенузе $MO$ и катету $OA = OB = r$), отсюда и равенство $MA = MB$.

Пример 1: находим длину касательной

Радиус окружности $r = 6$ см, а расстояние от внешней точки $M$ до центра $O$ равно $d = 10$ см. Найдём длину касательной $MA$.

Треугольник $OAM$ прямоугольный (угол при $A$ равен 90°, потому что $OA \perp MA$ по свойству касательной). По теореме Пифагора:

$$ MA = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} $$

Проверим это вычисление кодом — и заодно используем ту же формулу, которую применяют для радиолокации и GPS, когда ищут расстояние до горизонта.

import math

r = 6      # радиус окружности
d = 10     # расстояние от внешней точки до центра

tangent = math.sqrt(d ** 2 - r ** 2)
print(f"Радиус: {r}")
print(f"Расстояние до центра: {d}")
print(f"Длина касательной: {tangent}")

Вывод:

Радиус: 6
Расстояние до центра: 10
Длина касательной: 8.0

Пример 2: угол между двумя касательными

Из точки $M$ проведены две касательные $MA$ и $MB$ к окружности с центром $O$ и радиусом $r = 5$ см, причём $OM = 13$ см. Найдём угол $\angle AMB$ между касательными.

Сначала найдём $MA$ по теореме Пифагора: $MA = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ см. Дальше заметим, что отрезок $OM$ делит угол $\angle AMB$ пополам (это следует из равенства треугольников $OAM$ и $OBM$). В прямоугольном треугольнике $OAM$ угол при вершине $M$ находится через синус:

$$ \sin(\angle OMA) = \frac{OA}{OM} = \frac{5}{13} \approx 0{,}385 $$

Значит $\angle OMA \approx 22{,}6°$, а весь угол между касательными $\angle AMB = 2 \cdot 22{,}6° \approx 45{,}2°$. Заметь: чем дальше точка $M$ от окружности, тем «уже» становится угол между касательными — они почти сходятся в одну линию, если смотреть на маленькую далёкую монетку.

Как это работает

Откуда вообще берётся перпендикулярность радиуса и касательной? Представь, что касательная не перпендикулярна радиусу — то есть радиус $OA$ идёт к точке касания $A$ под каким-то другим углом. Тогда можно было бы найти на этой прямой точку $A'$, которая ближе к центру $O$, чем $A$. Но если $A'$ ближе к центру, чем радиус $r$, значит $A'$ лежит уже ВНУТРИ окружности — а не на ней и не снаружи. Получается, что прямая пересекла бы окружность не в одной точке, а прошла бы через её внутреннюю область, задев окружность дважды. Это противоречит определению касательной (у неё ровно одна общая точка с окружностью). Значит, наше предположение неверно, и радиус обязан быть перпендикулярен касательной — это и есть кратчайшее расстояние от центра до прямой.

Частые ошибки

Путают касательную с секущей. Секущая пересекает окружность в двух точках, касательная — ровно в одной. Это разные объекты, и теоремы для них разные.
Забывают, что угол между радиусом и касательной равен 90° именно в точке касания — а не в любой другой точке окружности.
Складывают отрезки касательных как попало, вместо того чтобы сначала отметить: если касательные проведены из ОДНОЙ точки, они равны — это готовая подсказка для половины задач на эту тему.
При счёте по теореме Пифагора путают, что тут гипотенуза — это отрезок от внешней точки до центра ($OM$), а не сама касательная.

Итоги

Радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной: $OA \perp a$.
Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки, равны: $MA = MB$.
Длину касательной удобно искать через теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике «центр — точка касания — внешняя точка».