Вписанные и центральные углы

Почему угол «изнутри» окружности всегда ровно вдвое меньше угла из центра — и как этим пользоваться на практике.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого проходят через две другие точки этой окружности.

Представь себе арену стадиона

Вообрази круглую арену цирка, а на её краю (по кругу) — зрительские места. На арене, ровно в центре, стоит акробат и держит в руках канат, концы которого закреплены на трибуне в двух точках. Угол, под которым акробат в центре видит этот канат, — это центральный угол: его вершина в центре круга.

А теперь представь зрителя, который сидит где-то на трибуне (тоже на краю круга) и смотрит на тот же самый канат. Угол, под которым он видит этот канат из своего места, — это вписанный угол: его вершина на самой окружности, а не в центре.

Удивительный факт: где бы зритель ни сидел на своей половине трибуны (по одну сторону от каната), он всегда увидит канат под одним и тем же углом — и этот угол ровно вдвое меньше, чем угол акробата в центре. Это и есть главная теорема этого урока.

Строгое определение и теорема

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности $O$, стороны которого — два радиуса.

Вписанный угол — угол с вершиной в точке $A$ на самой окружности, стороны которого — две хорды, идущие в две другие точки окружности.

Оба угла «опираются» на одну и ту же дугу — часть окружности между двумя точками, где закреплены стороны углов. Теорема о вписанном угле формулируется так:

$$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $$

где $\angle AOB$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AB$, а $\angle ACB$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $AB$, с вершиной $C$ на окружности. Важное следствие: все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой — не важно, в какой точке окружности (по одну сторону от хорды) стоит вершина.

Пример 1: находим вписанный угол по центральному

Центральный угол $\angle AOB = 84°$. Чему равен вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на ту же дугу $AB$?

$$ \angle ACB = \frac{84°}{2} = 42° $$

Проверим простым расчётом — это ровно та формула, по которой строятся навигационные приборы и оптические прицелы, использующие вписанные углы для измерения расстояний.

central_angle = 84  # центральный угол в градусах
inscribed_angle = central_angle / 2
print(f"Центральный угол: {central_angle} градусов")
print(f"Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу: {inscribed_angle} градусов")

Вывод:

Центральный угол: 84 градусов
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу: 42.0 градусов

Пример 2: угол, опирающийся на диаметр

Особый и очень полезный случай: что если хорда, на которую опирается угол, — это диаметр окружности? Диаметр делит окружность ровно пополам, значит дуга, на которую опирается центральный угол, равна половине окружности — то есть центральный угол в этом случае равен $180°$ (развёрнутый угол).

По теореме о вписанном угле:

$$ \angle ACB = \frac{180°}{2} = 90° $$

Значит, любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Это одно из самых часто используемых следствий во всей геометрии окружности: если видишь треугольник, вписанный в окружность, у которого одна сторона — диаметр, сразу знай, что угол напротив этой стороны равен 90° без дополнительных вычислений.

Как это работает

Почему вписанный угол ровно вдвое меньше центрального? Идея доказательства (для случая, когда центр $O$ лежит внутри вписанного угла): проведи вспомогательный радиус из вершины вписанного угла $C$ через центр $O$ дальше до пересечения с окружностью. Он разобьёт и вписанный угол, и центральный на две части.

В каждом из двух получившихся маленьких треугольников (например, $OCA$) стороны $OC$ и $OA$ — это радиусы, значит они равны, и треугольник равнобедренный. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. А внешний угол этого треугольника (центральный угол на «своей» половине) равен сумме двух внутренних несмежных углов — то есть удвоенному углу при вершине $C$. Складывая обе половины, получаем то же соотношение «в целом»: центральный угол всегда вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.

Частые ошибки

Путают, какой угол на какую дугу опирается — важно смотреть, какую именно дугу «охватывают» стороны угла, а не просто на какие точки он указывает.
Забывают, что вписанные углы равны только если опираются на одну дугу С ОДНОЙ стороны от хорды. Если вершины по разные стороны — углы будут в сумме давать 180°, а не быть равными.
Автоматически считают любой угол в окружности «вписанным», хотя вершина угла может быть и не на окружности — тогда теорема просто не применяется.
При использовании факта «угол на диаметре — прямой» забывают сначала убедиться, что сторона треугольника — это действительно диаметр, а не просто хорда, похожая на него на глаз.

Итоги

Вписанный угол вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу с одной стороны от хорды, равны между собой.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90° — удобный «бесплатный» факт для задач с треугольниками в окружности.