Сумма углов и площадь многоугольника

Разбираемся, почему сумма углов многоугольника растёт по чёткой формуле и как посчитать площадь правильной фигуры с любым числом сторон.

Выпуклый многоугольник — фигура, у которой все диагонали лежат внутри неё (ни одна вершина не «проваливается» внутрь).

Представь, что режешь пиццу на треугольники

Возьми любой выпуклый многоугольник — скажем, шестиугольник — и выбери одну вершину. Проведи из неё диагонали ко всем остальным вершинам, кроме двух соседних (с ними диагональ провести нельзя — получится сторона). Многоугольник развалится на несколько треугольников, как пицца на кусочки из одной точки. У треугольника, как известно, сумма углов всегда $180°$. А раз мы просто «нарезали» многоугольник на треугольники, не добавив и не убрав ни грамма площади и углов, сумма углов всей фигуры равна сумме углов всех треугольников-кусочков.

Сколько получится треугольников? У n-угольника из одной вершины проводятся диагонали к $(n-3)$ другим вершинам (все, кроме себя самой и двух соседних), что делит фигуру на $(n-2)$ треугольника. Например, четырёхугольник (n=4) режется одной диагональю на 2 треугольника, пятиугольник (n=5) — на 3, шестиугольник (n=6) — на 4.

Формула суммы углов

Раз многоугольник состоит из $(n-2)$ треугольников, а у каждого сумма углов $180°$, итоговая сумма углов выпуклого n-угольника:

$$ S_{\text{углов}} = (n-2) \cdot 180° $$

Проверим на уже знакомых фигурах: для треугольника ($n=3$) получаем $(3-2)\cdot180° = 180°$ — верно. Для четырёхугольника ($n=4$): $(4-2)\cdot180° = 360°$ — это мы уже видели в уроках про параллелограмм и трапецию. Для правильного шестиугольника ($n=6$): $(6-2)\cdot180° = 720°$, то есть на каждый из 6 равных углов приходится $720°/6 = 120°$.

Площадь правильного многоугольника

Правильный многоугольник — фигура, у которой все стороны равны и все углы равны (правильный треугольник — это равносторонний, правильный четырёхугольник — квадрат, и так далее). Его удобно разбить не с одной вершины, а из центра фигуры — получится $n$ одинаковых равнобедренных треугольников, как кусочки одинаковой круглой пиццы.

Высота каждого такого треугольника (расстояние от центра до середины стороны) называется апофемой. Площадь одного треугольника — половина произведения стороны на апофему, а всего треугольников $n$, поэтому:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r_{\text{ап}} = \frac{n \cdot a \cdot r_{\text{ап}}}{2} $$

где $P = n \cdot a$ — периметр, $a$ — длина стороны, $r_{\text{ап}}$ — апофема. Апофему можно выразить через сторону и число углов:

$$ r_{\text{ап}} = \frac{a}{2 \cdot \tg(180°/n)} $$

Отсюда итоговая рабочая формула площади правильного n-угольника со стороной $a$:

$$ S = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tg(180°/n)} $$

Пример: считаем для нескольких n

Возьмём сторону $a = 4$ см и посмотрим, как растёт площадь с увеличением числа сторон. Для правильного пятиугольника ($n=5$) по формуле получается $S \approx 27{,}53$ см², для шестиугольника ($n=6$) — $S \approx 41{,}57$ см², для восьмиугольника ($n=8$) — уже $S \approx 77{,}25$ см². Заметь важную закономерность: при одинаковой длине стороны чем больше углов у правильного многоугольника, тем больше его площадь — фигура становится всё «круглее» и эффективнее использует периметр (в пределе, когда $n$ стремится к бесконечности, правильный многоугольник превращается в окружность).

Проверим оба факта — и сумму углов, и площадь — кодом:

import math

def sum_of_angles(n):
    return (n - 2) * 180

def area_regular_polygon(n, side):
    return (n * side ** 2) / (4 * math.tan(math.pi / n))

for n in [3, 4, 5, 6, 8, 10]:
    print(f"n={n}: сумма углов = {sum_of_angles(n)}\u00b0")

side = 4
for n in [5, 6, 8]:
    area = area_regular_polygon(n, side)
    print(f"Правильный {n}-угольник со стороной {side}: площадь \u2248 {area:.2f}")

Вывод:

n=3: сумма углов = 180°
n=4: сумма углов = 360°
n=5: сумма углов = 540°
n=6: сумма углов = 720°
n=8: сумма углов = 1080°
n=10: сумма углов = 1440°
Правильный 5-угольник со стороной 4: площадь ≈ 27.53
Правильный 6-угольник со стороной 4: площадь ≈ 41.57
Правильный 8-угольник со стороной 4: площадь ≈ 77.25

Как это работает: почему именно (n-2), а не n

Может показаться логичным, что раз в многоугольнике n вершин, то и треугольников при разбиении из одной вершины должно быть n. Но два треугольника «съедаются» на входе: в саму выбранную вершину диагонали не проводятся (это не диагональ, а точка), и к двум соседним вершинам тоже — отрезки до них уже являются сторонами многоугольника, а не диагоналями. Поэтому из n вершин остаются доступными для диагоналей только $n-3$, а треугольников получается $n-2$ (одна сторона многоугольника плюс диагональ всегда замыкают ещё один треугольник, даже когда диагоналей на 1 меньше, чем треугольников).

Частые ошибки

Забывают вычесть 2 и считают сумму углов как $n \cdot 180°$ — это в n раз больше суммы углов одного треугольника, а не многоугольника.
Путают апофему (высоту треугольника от центра до стороны) с радиусом описанной окружности (расстоянием от центра до вершины) — это разные отрезки, апофема всегда короче.
Применяют формулу площади правильного многоугольника к неправильному — она работает только когда все стороны и все углы равны.
Забывают, что формула суммы углов $(n-2)\cdot180°$ верна только для выпуклых многоугольников; для невыпуклых («звёздчатых») подход с разбиением на треугольники из одной вершины уже не работает напрямую.

Итоги

Сумма углов выпуклого n-угольника: $(n-2)\cdot180°$ — фигура режется на $(n-2)$ треугольника из одной вершины.
У правильного многоугольника все стороны и углы равны, каждый угол равен $\frac{(n-2)\cdot180°}{n}$.
Площадь правильного n-угольника со стороной $a$: $S = \dfrac{n \cdot a^2}{4\cdot\tg(180°/n)}$.
При фиксированной стороне площадь растёт вместе с числом сторон — фигура приближается к окружности.