Местные потери и расчёт трубопровода

Урок о потерях на поворотах и кранах и о том, как собрать полный гидравлический расчёт трубопровода.

Местные потери — потери напора на отдельных элементах трубопровода (поворотах, вентилях, сужениях), где поток резко меняет направление или скорость.

Кроме трения по длине, поток теряет энергию на каждом «препятствии»: входе в трубу, колене, задвижке, выходе. На разветвлённой сети таких потерь набирается много, и их нельзя игнорировать.

Формула местных потерь

$$ h_m = \zeta\, \frac{v^2}{2 g} $$

где $\zeta$ (дзета) — безразмерный коэффициент местного сопротивления, своя для каждого элемента. Типичные значения: вход в трубу $\zeta \approx 0{,}5$, колено $90^\circ$ — около $0{,}9$, полностью открытая задвижка — около $0{,}2$, выход в бак — $1{,}0$. Местные потери, как и потери по длине, пропорциональны скоростному напору $v^2/(2g)$.

Полные потери

Полные потери трубопровода — сумма потерь по длине и всех местных:

$$ h_{\text{пот}} = \lambda\,\frac{l}{d}\,\frac{v^2}{2g} + \sum \zeta_i\,\frac{v^2}{2g} = \left(\lambda\,\frac{l}{d} + \sum\zeta_i\right)\frac{v^2}{2g} $$

Уравнение Бернулли с потерями

Для реальной жидкости между двумя точками трубопровода (например, двумя резервуарами) Бернулли дополняется потерями:

$$ \frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_{\text{пот}} $$

Если оба резервуара открыты ($p_1 = p_2 = p_{\text{атм}}$) и широки ($v_1 \approx v_2 \approx 0$), то требуемый напор насоса равен разности высот плюс все потери.

Полный расчёт трубопровода

Насос качает воду из нижнего бака в верхний на высоту $z = 12\ \text{м}$ по трубе $d = 50\ \text{мм}$, $l = 80\ \text{м}$, $\lambda = 0{,}025$. По пути: вход ($\zeta=0{,}5$), два колена ($0{,}9$ каждое), задвижка ($0{,}2$), выход ($1{,}0$). Расход $Q = 4\ \text{л/с}$. Найдём требуемый напор насоса.

import math

g = 9.81
d = 0.05
l = 80.0
lam = 0.025
z = 12.0
Q = 0.004        # м^3/с

A = math.pi * (d / 2) ** 2
v = Q / A                       # скорость в трубе
vel_head = v ** 2 / (2 * g)     # скоростной напор

zeta_sum = 0.5 + 0.9 + 0.9 + 0.2 + 1.0
h_length = lam * (l / d) * vel_head    # потери по длине
h_local = zeta_sum * vel_head          # местные потери
H_pump = z + h_length + h_local        # требуемый напор

print(round(v, 3))
print(round(h_length, 3))
print(round(h_local, 3))
print(round(H_pump, 2))

Вывод:

Скорость в трубе $\approx 2\ \text{м/с}$. Потери по длине — $8{,}5\ \text{м}$, местные — $0{,}75\ \text{м}$. Вместе с подъёмом на $12\ \text{м}$ насос должен создавать напор около $21{,}2\ \text{м}$. На длинной трубе потери по длине доминируют над местными.

Как работает под капотом

Местные потери рождаются там, где плавное течение срывается: за резким поворотом или расширением образуется зона вихрей, в которой кинетическая энергия потока хаотично рассеивается в тепло, не возвращаясь в поток. Коэффициент $\zeta$ — это доля скоростного напора, теряемая на элементе, измеренная экспериментально. Для длинных труб иногда удобно заменять местные потери «эквивалентной длиной» — отрезком прямой трубы, дающим такие же потери. Сложение всех потерь и подъёма даёт рабочую точку, по которой подбирают насос — об этом следующий раздел.

Частые ошибки

Учитывают только потери по длине, забыв про местные (или наоборот).
Берут $\zeta$ не для того элемента (колено вместо тройника).
Забывают добавить геометрический подъём $z$ к напору насоса.
Используют разные скорости для разных участков, не пересчитав по неразрывности.

Итог

Местные потери: $h_m = \zeta\, v^2/(2g)$, своя $\zeta$ для каждого элемента.
Полные потери = потери по длине + сумма местных.
Бернулли с потерями связывает напор насоса, подъём и сопротивление сети.
Требуемый напор насоса $= z + h_{\text{пот}}$ для двух открытых резервуаров.