Потери напора по длине: формула Дарси-Вейсбаха

Урок о главных потерях в трубопроводе — трении о стенки на всей длине трубы.

Потери напора по длине — энергия потока, рассеиваемая вязким трением на единицу веса жидкости вдоль прямого участка трубы.

В реальной жидкости полный напор не сохраняется: трение о стенки и вихри съедают энергию. Чтобы подобрать насос, инженер должен посчитать эти потери. Главные из них — потери по длине.

Формула Дарси-Вейсбаха

$$ h_f = \lambda\, \frac{l}{d}\, \frac{v^2}{2 g} $$

где $h_f$ — потери напора в метрах столба, $\lambda$ — безразмерный коэффициент гидравлического трения, $l$ — длина трубы, $d$ — её диаметр, $v$ — средняя скорость. Потери растут с длиной, с квадратом скорости и обратно пропорциональны диаметру. Поэтому удвоение скорости учетверяет потери, а выбор трубы побольше резко их снижает.

Коэффициент трения λ

В ламинарном режиме коэффициент зависит только от числа Рейнольдса:

$$ \lambda = \frac{64}{Re} $$

В турбулентном режиме $\lambda$ зависит и от $Re$, и от относительной шероховатости стенок $\varepsilon/d$. Его берут из диаграммы Муди или вычисляют по эмпирическим формулам (Блазиуса, Колбрука). Для гладкой трубы при умеренной турбулентности удобна формула Блазиуса:

$$ \lambda = \frac{0{,}316}{Re^{0{,}25}} $$

Считаем потери напора

Вода течёт по трубе $d = 50\ \text{мм}$, длиной $l = 100\ \text{м}$ со скоростью $1{,}5\ \text{м/с}$; $\nu = 1{,}0\cdot 10^{-6}\ \text{м}^2/\text{с}$.

import math

g = 9.81
d = 0.05
l = 100.0
v = 1.5
nu = 1.0e-6

Re = v * d / nu
if Re < 2300:
    lam = 64 / Re
else:
    lam = 0.316 / Re ** 0.25     # формула Блазиуса

hf = lam * (l / d) * v ** 2 / (2 * g)
dp = 1000 * g * hf               # перепад давления, Па

print(round(Re, 0))
print(round(lam, 4))
print(round(hf, 3))
print(round(dp / 1000, 2))   # кПа

Вывод:

Число Рейнольдса $75000$ — течение турбулентное, $\lambda \approx 0{,}019$. Потери напора на $100\ \text{м}$ трубы — около $4{,}4\ \text{м}$ водяного столба, что соответствует перепаду давления $43\ \text{кПа}$. Именно эту энергию должен восполнить насос.

Шероховатость и диаграмма Муди

Старые, ржавые или бетонные трубы имеют большую шероховатость $\varepsilon$, и при больших $Re$ коэффициент $\lambda$ перестаёт зависеть от $Re$, оставаясь функцией только $\varepsilon/d$ — это «квадратичная зона» сопротивления. Диаграмма Муди сводит все режимы на один график: по $Re$ и $\varepsilon/d$ находят $\lambda$.

Как работает под капотом

Физически потери по длине — это работа сил вязкого трения, превращающая механическую энергию потока в тепло. В формуле Дарси-Вейсбаха квадрат скорости отражает кинетическую энергию, которую вихри «забирают» у потока, а коэффициент $\lambda$ — долю этой энергии, теряемую на каждый калибр длины. В ламинарном режиме связь $\lambda = 64/Re$ выводится точно из закона Пуазейля. В турбулентном режиме точного решения нет: $\lambda$ определяют из опыта, потому что вихревое перемешивание слишком сложно описать аналитически.

Частые ошибки

Используют ламинарную формулу $\lambda = 64/Re$ при турбулентном течении.
Забывают, что потери растут как квадрат скорости.
Игнорируют шероховатость старых труб, занижая $\lambda$.
Путают потери напора (в метрах) и перепад давления (в паскалях): связь через $\rho g$.

Итог

Потери по длине: $h_f = \lambda\,(l/d)\,v^2/(2g)$.
Растут с длиной и квадратом скорости, падают с диаметром.
Ламинарный режим: $\lambda = 64/Re$; турбулентный — по Блазиусу или диаграмме Муди.
Перепад давления $\Delta p = \rho g\, h_f$.