Действующее значение тока и напряжения

Урок объясняет, почему «220 В» — это не амплитуда, а действующее значение, и откуда берётся корень из двух.

Действующее (среднеквадратичное, RMS) значение переменного тока — это значение постоянного тока, который выделяет на резисторе ту же среднюю мощность.

Когда говорят «в розетке 220 вольт», имеют в виду именно действующее значение. Оно — мостик между миром переменного и постоянного тока.

Формула для синусоиды

Для чистой синусоиды действующее значение в $\sqrt{2}$ раз меньше амплитудного:

$$ U_{rms} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}, \qquad I_{rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}. $$

Поэтому амплитуда сети «220 В» равна $U_m = 220\sqrt{2} \approx 311\,\text{В}$. Средняя мощность на резисторе считается через действующие значения как при постоянном токе: $P = U_{rms} I_{rms} = I_{rms}^2 R$.

Откуда корень из двух

Мощность пропорциональна квадрату напряжения. Среднее значение $\sin^2$ за период равно $1/2$, поэтому средняя мощность вдвое меньше пиковой, а действующее напряжение — корень из среднего квадрата:

$$ U_{rms} = \sqrt{\langle u^2 \rangle} = \sqrt{\frac{U_m^2}{2}} = \frac{U_m}{\sqrt 2}. $$

Численная проверка усреднением

import math

Um = 311.0
N = 100000
sum_sq = 0.0
for k in range(N):
    t = k / N            # один период по фазе 0..1
    u = Um * math.sin(2*math.pi*t)
    sum_sq += u*u

rms = math.sqrt(sum_sq / N)
print(f"RMS численно   = {rms:.3f} В")
print(f"Um/sqrt(2)      = {Um/math.sqrt(2):.3f} В")

Вывод:

RMS численно   = 219.910 В
Um/sqrt(2)      = 219.910 В

Как работает под капотом

«Среднеквадратичное» буквально означает: возьми мгновенные значения, возведи в квадрат, усредни за период и извлеки корень. Возведение в квадрат нужно, потому что простое среднее синусоиды за период равно нулю (положительные и отрицательные полуволны компенсируются), а мощность от знака не зависит. Возведя в квадрат, мы делаем все значения положительными и попутно учитываем, что мощность $\propto u^2$. Численный эксперимент в коде проходит ровно по этому определению и в пределе многих точек точно даёт $U_m/\sqrt2$ — теория и симуляция совпадают до третьего знака.

Частые ошибки

• Принимают «220 В» за амплитуду. Это действующее значение, амплитуда — около 311 В.
• Считают мощность переменного тока через амплитуды без поправки. Используйте действующие значения.
• Применяют коэффициент $1/\sqrt2$ к несинусоидальным сигналам — для них RMS другой.

Итог

• $U_{rms} = U_m/\sqrt2$ для синусоиды.
• Действующее значение даёт ту же мощность, что и постоянный ток.
• «220 В» — действующее, амплитуда $\approx 311$ В.
• RMS = корень из среднего квадрата мгновенных значений.