Тяга винта: почему она растёт как квадрат оборотов

Главная формула силовой установки коптера: тяга пропорциональна квадрату оборотов.

Закон тяги винта: при фиксированной геометрии тяга примерно пропорциональна квадрату угловой скорости вращения.

Формула

Для винта заданной геометрии в висении хорошо работает простая модель:

$$ T = k_T\,\omega^2 $$

где $\omega$ — угловая скорость в радианах в секунду, а $k_T$ — коэффициент тяги, зависящий от диаметра, шага и плотности воздуха. Квадрат здесь не случаен: и скорость воздуха, отбрасываемого винтом, и его расход растут пропорционально оборотам, а сила — это произведение расхода на изменение скорости, то есть две степени $\omega$.

Перевод оборотов

Производители дают обороты в RPM (оборотах в минуту). Связь с $\omega$:

$$ \omega = \frac{2\pi\,\text{RPM}}{60} $$

import math
kT = 1.5e-5   # коэффициент тяги, Н/(рад/с)^2
for rpm in (4000, 6000, 8000):
    omega = rpm * 2 * math.pi / 60
    T = kT * omega ** 2
    print("RPM =", rpm, "-> omega =", round(omega, 1),
          "рад/с, тяга =", round(T, 2), "Н")

Вывод:

RPM = 4000 -> omega = 418.9 рад/с, тяга = 2.63 Н
RPM = 6000 -> omega = 628.3 рад/с, тяга = 5.92 Н
RPM = 8000 -> omega = 837.8 рад/с, тяга = 10.53 Н

Что это значит на практике

Обороты выросли в полтора раза (с 4000 до 6000), а тяга — в $1{,}5^2=2{,}25$ раза (с 2.63 до 5.92 Н). Поэтому маленькая добавка газа в районе высоких оборотов даёт большой скачок тяги — отсюда резкость управления и риск «выстрелить» вверх. И наоборот: у самой земли, на малых оборотах, тяга меняется вяло.

Как работает под капотом

Регулятор оборотов (ESC) меняет не тягу напрямую, а среднее напряжение на моторе, а значит обороты. Автопилот посылает ESC команду «газ», ESC раскручивает мотор, и только потом из квадрата оборотов рождается тяга. Эта нелинейность (квадрат) — причина, по которой настройку ПИД-регулятора (мы дойдём до неё) приходится подбирать аккуратно: усиление «по тяге» само зависит от текущего газа.

Частые ошибки

Считать тягу пропорциональной оборотам линейно — она растёт как квадрат, ошибка быстро накапливается.
Забыть перевести RPM в рад/с перед подстановкой в формулу с $\omega$.
Думать, что $k_T$ — мировая константа: он зависит от винта и плотности воздуха (высота, температура).

Итог

Тяга винта примерно пропорциональна квадрату угловой скорости: $T=k_T\omega^2$.
RPM переводится в рад/с умножением на $2\pi/60$.
Квадратичность объясняет резкость газа на высоких оборотах.