Мощность винта и нагрузка на ометаемую площадь

Чем больше винт раскидывает воздух по площади, тем меньше энергии нужно на ту же тягу.

Нагрузка на ометаемую площадь (disk loading) — отношение тяги к площади круга, который заметает винт. Низкая нагрузка означает экономичный полёт.

Ометаемая площадь

Винт радиусом $R$ заметает круг площадью

$$ A = \pi R^2 $$

Нагрузка на эту площадь:

$$ DL = \frac{T}{A} $$

Идеальная мощность висения

Из теории импульса (модель идеального диска) минимальная мощность, нужная для создания тяги $T$ в висении:

$$ P_{\text{ид}} = T\sqrt{\frac{T}{2\rho A}} $$

где $\rho$ — плотность воздуха. Видно: при той же тяге большая площадь $A$ уменьшает мощность. Поэтому вертолёты с огромными винтами экономичнее коптеров с маленькими.

import math
rho = 1.225      # плотность воздуха, кг/м^3
R = 0.127        # радиус винта 10 дюймов ~ 0.127 м
m = 1.2; g = 9.81
T = m * g                       # тяга для висения
A = math.pi * R ** 2            # ометаемая площадь
DL = T / A                      # нагрузка
P_ideal = T * math.sqrt(T / (2 * rho * A))
print("Площадь A:", round(A, 4), "м^2")
print("Нагрузка DL:", round(DL, 2), "Н/м^2")
print("Идеальная мощность:", round(P_ideal, 1), "Вт")

Вывод:

Площадь A: 0.0507 м^2
Нагрузка DL: 232.32 Н/м^2
Идеальная мощность: 114.6 Вт

Что показывает расчёт

На каждый из четырёх винтов нашего коптера идеально нужно около 115 Вт — это нижняя граница. Реальные потери (профильное сопротивление лопасти, КПД мотора и ESC, неидеальный поток) поднимают цифру в полтора-два раза. Но даже идеал говорит главное: хотите дольше летать — ставьте винты побольше при тех же оборотах, нагрузка $DL$ упадёт, и мощность тоже.

Как работает под капотом

Формула $P_{\text{ид}}\propto T^{3/2}/\sqrt{A}$ объясняет, почему тяжёлый груз бьёт по времени полёта так сильно: мощность растёт как тяга в степени полтора. Подвесили дополнительную камеру — выросла тяга, а мощность подскочила ещё круче, и батарея села быстрее, чем кажется по простой пропорции.

Частые ошибки

• Считать мощность линейной по тяге — на висении она ближе к $T^{1{,}5}$.
• Забывать про плотность воздуха: в горах $\rho$ меньше, та же тяга требует больше мощности.
• Сравнивать винты только по диаметру, игнорируя шаг — он тоже влияет на $k_T$ и мощность.

Итог

• $A=\pi R^2$, нагрузка $DL=T/A$; меньше нагрузка — экономичнее.
• Идеальная мощность висения $P=T\sqrt{T/(2\rho A)}$.
• Большой винт при тех же оборотах резко снижает мощность висения.