Убираем сетевую наводку 50 Гц из ЭКГ

Решаем классическую медицинскую задачу: чистим кардиограмму от помехи электросети.

Сетевая наводка — паразитный сигнал частотой 50 Гц (в РФ и Европе; 60 Гц в США/Японии), наводимый проводкой на чувствительные датчики вроде электродов ЭКГ.

Это, возможно, самая частая практическая задача DSP в медицине и измерениях. Электроды ЭКГ снимают милливольты, а вокруг — провода под напряжением 220 В, 50 Гц. Наводка «подмешивается» в сигнал и мешает врачу видеть зубцы кардиограммы. Полезный сигнал сердца — это в основном частоты до ~40 Гц, а помеха — ровно 50 Гц. Их можно разделить фильтром.

Видим проблему

Смоделируем ЭКГ как медленный полезный тон 2 Гц плюс сильную наводку 50 Гц. Сравним сигнал с эталоном (чистым 2 Гц) по RMS-отклонению.

import math

fs, N = 200.0, 200
ecg = [math.sin(2 * math.pi * 2 * n / fs) + 0.7 * math.sin(2 * math.pi * 50 * n / fs)
       for n in range(N)]
clean = [math.sin(2 * math.pi * 2 * n / fs) for n in range(N)]

def rms(a, b):
    return round(math.sqrt(sum((x - y) ** 2 for x, y in zip(a, b)) / len(a)), 3)

print("RMS наводки в сыром сигнале:", rms(ecg, clean))

Вывод:

RMS наводки в сыром сигнале: 0.495

Отклонение 0.495 — наводка сравнима по силе с полезным сигналом. Без фильтрации зубцы ЭКГ тонут в «сетевой ряби».

Трюк: скользящее среднее, гасящее ровно 50 Гц

Есть элегантное решение. Скользящее среднее длиной L отсчётов имеет в АЧХ нули на частотах fs/L, 2*fs/L, .... Если выбрать L = fs/50, один из нулей попадёт ровно на 50 Гц — и наводка исчезнет. При fs = 200 нужно L = 200/50 = 4.

import math

fs, N = 200.0, 200
ecg = [math.sin(2 * math.pi * 2 * n / fs) + 0.7 * math.sin(2 * math.pi * 50 * n / fs)
       for n in range(N)]
clean = [math.sin(2 * math.pi * 2 * n / fs) for n in range(N)]

def convolve_same(x, h):
    M = len(h); pad = M // 2; out = []
    for i in range(len(x)):
        s = 0.0
        for j in range(M):
            idx = i - pad + j
            if 0 <= idx < len(x):
                s += x[idx] * h[j]
        out.append(s)
    return out

def rms(a, b):
    return round(math.sqrt(sum((x - y) ** 2 for x, y in zip(a, b)) / len(a)), 3)

L = int(fs / 50)          # = 4: нуль АЧХ ровно на 50 Гц
ma = [1 / L] * L
filtered = convolve_same(ecg, ma)
print("Длина фильтра L =", L)
print("RMS наводки после фильтра:", rms(filtered, clean))

Вывод:

Длина фильтра L = 4
RMS наводки после фильтра: 0.028

Наводка упала с 0.495 до 0.028 — почти в 18 раз. Простое 4-точечное среднее, настроенное на нуль 50 Гц, вычистило помеху, почти не задев полезный сигнал 2 Гц. Кардиограмма читается.

Почему это работает

АЧХ скользящего среднего длины L — это функция вида |sin(pi*f*L/fs) / (L*sin(pi*f/fs))|. Её нули — там, где числитель равен нулю, то есть на частотах, кратных fs/L. При L=4 и fs=200 нули стоят на 50, 100, 150 Гц. Наша помеха 50 Гц попадает точно в первый нуль и подавляется почти полностью. А полезные 2 Гц лежат далеко в полосе пропускания и проходят. Это дешёвый аналог режекторного (notch) фильтра, идеально подходящий, когда мешающая частота кратна fs/L.

Как работает под капотом

В реальной аппаратуре ЭКГ применяют специальный notch-фильтр: IIR второго порядка с парой нулей точно на 50 Гц и парой полюсов чуть внутри окружности рядом с ними. Полюса делают провал АЧХ узким, чтобы вырезать только 50 Гц, не трогая соседние полезные частоты (наш MA-трюк вырезает шире). Иногда вместо фильтра используют адаптивное вычитание: берут опорный сигнал сети, подстраивают его амплитуду и фазу и вычитают из ЭКГ — так убирают наводку, вообще не трогая спектр сигнала. Выбор метода зависит от того, насколько стабильна частота сети и важны ли частоты возле 50 Гц.

Частые ошибки

Резать слишком широко. Грубый фильтр уберёт вместе с 50 Гц и полезные близкие частоты (для ЭКГ это детали зубцов).
Перепутать 50 и 60 Гц. В США сеть 60 Гц; фильтр под 50 Гц там не сработает.
Фильтровать вместо экранирования. Лучше сначала уменьшить наводку аппаратно (экран, заземление), а фильтром добивать остаток.

Итог

Сетевая наводка — паразитный тон 50 Гц (60 в США) на чувствительных датчиках.
Скользящее среднее длины L = fs/50 имеет нуль АЧХ ровно на 50 Гц.
Такой фильтр дёшево гасит помеху, почти не трогая полезный низкочастотный сигнал.
В аппаратуре применяют узкий notch-фильтр или адаптивное вычитание сети.