АЧХ, ФЧХ и обзор z-преобразования

Сводим воедино язык характеристик фильтра и заглядываем в z-плоскость, где живут полюса и нули.

АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) показывает усиление фильтра на каждой частоте; ФЧХ (фазочастотная) — вносимый фазовый сдвиг. z-преобразование — инструмент анализа, обобщающий ДПФ на всю комплексную плоскость.

Чтобы говорить о фильтрах профессионально, нужен словарь их характеристик. АЧХ и ФЧХ полностью описывают, что фильтр делает с сигналом. А z-преобразование — это математический «рентген» фильтра, через который видно его устойчивость и резонансы. Разберём оба на простом примере.

Считаем АЧХ фильтра

АЧХ — это |H(f)|, модуль частотной характеристики. Для FIR её легко получить: это модуль ДПФ ядра на нужных частотах. Посчитаем АЧХ скользящего среднего MA-3.

import math, cmath

def freq_response(h, npts=8):
    out = []
    for i in range(npts):
        f = 0.5 * i / (npts - 1)               # частоты от 0 до 0.5 (доли fs)
        H = sum(h[n] * cmath.exp(-2j * math.pi * f * n) for n in range(len(h)))
        out.append(round(abs(H), 3))
    return out

ma3 = [1/3, 1/3, 1/3]
achx = freq_response(ma3)
print("частота (доли fs): 0.0 ... 0.5")
print("АЧХ MA-3:", achx)

Вывод:

частота (доли fs): 0.0 ... 0.5
АЧХ MA-3: [1.0, 0.934, 0.749, 0.482, 0.185, 0.082, 0.267, 0.333]

На частоте 0 (постоянный сигнал) усиление 1.0 — проходит полностью. С ростом частоты усиление падает до минимума около 0.35–0.42 fs — это ФНЧ. Скачок в конце — у MA есть «ноль» в АЧХ и небольшой «горб» за ним: грубая характеристика, потому MA и считают плохим ФНЧ.

Полоса пропускания и переходная зона

Идеальный фильтр — «кирпич» с нулевой переходной зоной. Реальный имеет конечную переходную зону: чем она у́же (круче срез), тем сложнее фильтр (длиннее FIR или выше порядок IIR).

ФЧХ: фазовый сдвиг и задержка

ФЧХ показывает, на какой угол фильтр сдвигает каждую частоту. Если ФЧХ линейна (прямая линия), все частоты задерживаются одинаково — форма не искажается (это про FIR). Если ФЧХ нелинейна (IIR), разные частоты задерживаются по-разному — форма «расплывается». Поэтому для аудио и измерений, где важна форма, часто предпочитают FIR с линейной фазой.

z-преобразование: обзор

z-преобразование заменяет в формулах задержку на единицу x[n-1] символом z^(-1). Тогда любой фильтр записывается как дробь от z: нули (корни числителя) — частоты, которые фильтр гасит; полюса (корни знаменателя) — частоты, которые он усиливает (резонансы). Геометрия проста и наглядна:

z-плоскость (комплексная):

      Im
       |    . единичная окружность (|z|=1)
   x   |  /     x — полюс (резонанс)
       |/       o — ноль (подавление)
-------+--------- Re
      /|
     o |
       |

Устойчивость: ВСЕ полюса (x) внутри окружности.
АЧХ = значения дроби на самой окружности.

Связь с Фурье: проходя по единичной окружности z = e^(i*w), мы получаем частотную характеристику. То есть АЧХ — это «срез» z-преобразования по окружности. Полюс близко к окружности — острый резонанс на этой частоте; ноль на окружности — глубокий провал (так и делают режекторный notch на 50 Гц: ставят пару нулей точно на эту частоту).

Как работает под капотом

z-преобразование объединяет всё, что мы изучили. Импульсная характеристика, свёртка, АЧХ, устойчивость — всё это разные проекции одной картины «полюса и нули на z-плоскости». Проектирование фильтра в продвинутом виде — это расстановка полюсов и нулей: нули — туда, где надо подавить, полюса (внутри окружности!) — туда, где надо усилить. Аналоговые прототипы (Баттерворта — максимально плоская АЧХ; Чебышёва — круче срез ценой ряби; эллиптический — самый крутой) переводят в цифру билинейным преобразованием, которое отображает аналоговые полюса в z-плоскость. Это уже инженерный уровень, но интуиция «полюс усиливает, ноль гасит, всё внутри окружности — устойчиво» работает всегда.

Частые ошибки

• Смотреть только на АЧХ, забыв ФЧХ. Фильтр с хорошей АЧХ, но нелинейной фазой исказит форму сигнала.
• Хотеть нулевую переходную зону. Идеальный «кирпич» нереализуем; чем круче срез, тем дороже фильтр.
• Ставить полюс на окружность. Полюс точно на |z|=1 — на грани устойчивости; из-за округлений уйдёт наружу и фильтр разойдётся.

Итог

• АЧХ — усиление по частотам; ФЧХ — фазовый сдвиг по частотам.
• Полоса пропускания, переходная зона и рябь описывают форму АЧХ.
• z-преобразование: нули гасят частоты, полюса усиливают; АЧХ — срез по единичной окружности.
• Устойчивость = все полюса внутри единичной окружности.