КИХ-фильтры (FIR): свёртка с ядром

Разбираем FIR — самый понятный и устойчивый класс фильтров: просто свёртка с подобранным ядром.

FIR-фильтр (КИХ, с конечной импульсной характеристикой) — фильтр, выход которого зависит только от конечного числа входных отсчётов: y[n] = sum(h[k]*x[n-k]). Это прямая свёртка сигнала с ядром h.

FIR — самый дружелюбный тип фильтра. Его работа — это в точности свёртка, которую мы уже освоили. У него нет обратной связи, поэтому он всегда устойчив и может иметь идеально линейную фазу (не искажает форму). Цена — для крутых фильтров нужно длинное ядро. Научимся проектировать FIR двумя способами.

FIR — это свёртка

Весь FIR-фильтр задаётся ядром h (его коэффициенты называют отводами, taps). Применение — свёртка. Самый простой FIR — скользящее среднее: ядро из одинаковых весов.

def fir(x, h):
    M = len(h); pad = M // 2
    out = []
    for i in range(len(x)):
        s = 0.0
        for j in range(M):
            idx = i - pad + j
            if 0 <= idx < len(x):
                s += x[idx] * h[j]
        out.append(round(s, 2))
    return out

def moving_average(k):
    return [1 / k] * k

sig = [2, 8, 4, 6, 10, 2, 4, 8]
print("MA-3 ядро:", [round(v, 3) for v in moving_average(3)])
print("сглажено: ", fir(sig, moving_average(3)))

Вывод:

MA-3 ядро: [0.333, 0.333, 0.333]
сглажено:  [3.33, 4.67, 6.0, 6.67, 6.0, 5.33, 4.67, 4.0]

Скользящее среднее — это FIR-ФНЧ. Но у него грубая АЧХ. Для качественного фильтра ядро проектируют умнее — методом окна.

Проектирование методом окна

Идеальный ФНЧ имеет ядро в виде функции sinc (бесконечной). Мы обрезаем её до конечной длины и умножаем на оконную функцию (чтобы убрать «звон»). Получается практичный FIR-ФНЧ.

import math

def fir_lowpass(numtaps, fc):
    # fc — частота среза в долях fs (0..0.5)
    M = numtaps - 1
    h = []
    for n in range(numtaps):
        k = n - M / 2
        ideal = 2 * fc if k == 0 else math.sin(2 * math.pi * fc * k) / (math.pi * k)
        window = 0.54 - 0.46 * math.cos(2 * math.pi * n / M)   # окно Хэмминга
        h.append(ideal * window)
    s = sum(h)
    return [round(c / s, 4) for c in h]    # нормируем усиление на 0 Гц к 1

kernel = fir_lowpass(7, 0.1)
print("Ядро ФНЧ (7 отводов):", kernel)
print("Сумма ~ 1 (усиление DC):", round(sum(kernel), 3))

Вывод:

Ядро ФНЧ (7 отводов): [0.0135, 0.0785, 0.2409, 0.3344, 0.2409, 0.0785, 0.0135]
Сумма ~ 1 (усиление DC): 1.0

Ядро симметрично (это и даёт линейную фазу) и колоколообразно: центральный отвод самый большой, края малы. Сумма коэффициентов равна единице — значит, постоянный сигнal проходит без изменения уровня.

FIR реально чистит шум

Проверим фильтр в деле: добавим шум к синусоиде и пропустим через наш FIR-ФНЧ.

import math, random
random.seed(42)

def fir(x, h):
    M = len(h); pad = M // 2; out = []
    for i in range(len(x)):
        s = 0.0
        for j in range(M):
            idx = i - pad + j
            if 0 <= idx < len(x):
                s += x[idx] * h[j]
        out.append(s)
    return out

h = [0.0135, 0.0785, 0.2409, 0.3344, 0.2409, 0.0785, 0.0135]
clean = [math.sin(2 * math.pi * n / 32) for n in range(32)]
noisy = [s + random.uniform(-0.4, 0.4) for s in clean]
filtered = fir(noisy, h)

def rms(a, b):
    return round(math.sqrt(sum((x - y) ** 2 for x, y in zip(a, b)) / len(a)), 3)

print("RMS шума до фильтра: ", rms(noisy, clean))
print("RMS шума после:      ", rms(filtered, clean))

Вывод:

RMS шума до фильтра:  0.244
RMS шума после:       0.122

Фильтр вдвое снизил отклонение от чистого сигнала: высокочастотный шум подавлен, синусоида осталась. FIR работает.

Как работает под капотом

Ключевое достоинство FIR — линейная фаза при симметричном ядре. Линейная фаза означает, что все частоты задерживаются на одинаковое время, поэтому форма сигнала не искажается — только сдвигается. Это критично для аудио и связи, где важна сохранность формы (например, при передаче данных). У IIR-фильтров (следующий урок) фаза нелинейна. Обратная сторона: чтобы получить крутой срез, FIR требует много отводов (десятки-сотни), а значит, много умножений на отсчёт. Длинные FIR на практике считают через БПФ (быстрая свёртка): перейти в спектр, перемножить, вернуться — это O(N log N) вместо O(N*M).

Частые ошибки

• Забыть нормировать ядро. Если сумма коэффициентов не равна 1, фильтр изменит общий уровень сигнала.
• Обрезать sinc без окна. Резкое обрезание даёт «звон» в АЧХ (эффект Гиббса); окно сглаживает.
• Брать слишком короткое ядро для крутого среза. Чем круче нужен переход, тем больше отводов — это закон.

Итог

• FIR-фильтр — это свёртка сигнала с конечным ядром h (отводами).
• Простейший FIR — скользящее среднее; качественный проектируют методом окна.
• Симметричное ядро даёт линейную фазу — форма сигнала не искажается.
• FIR всегда устойчив, но для крутого среза требует много отводов.