Тригонометрическая форма

Записываем число через его длину и угол: $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$.

Тригонометрическая форма: $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, где $r=|z|$ — модуль, $\varphi=\arg(z)$ — аргумент.

Откуда она берётся

Мы уже знаем связь декартовых и полярных координат: $a=r\cos\varphi$ и $b=r\sin\varphi$. Подставим это в $z=a+bi$:

$$z=r\cos\varphi+i\,r\sin\varphi=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

Это и есть тригонометрическая форма. Вместо двух «декартовых» чисел $a,b$ мы храним длину $r$ и угол $\varphi$ — те же два числа, но в полярном языке.

Зачем она нужна

Главное преимущество откроется в правиле умножения: при перемножении двух чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

$$z_1 z_2=r_1 r_2\big(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\big).$$

Доказать это можно прямым раскрытием скобок с применением формул сложения для синуса и косинуса. Проверим численно: возьмём $z_1$ с углом $30^\circ$ и $z_2$ с углом $45^\circ$; их произведение должно иметь угол $75^\circ$.

import cmath, math
z1 = cmath.rect(2, math.radians(30))
z2 = cmath.rect(3, math.radians(45))
proizv = z1 * z2
print("Модуль произведения:", round(abs(proizv), 4), "(ожидаем 6)")
print("Угол произведения:", round(math.degrees(cmath.phase(proizv)), 2), "(ожидаем 75)")

Вывод:

Модуль произведения: 6.0 (ожидаем 6)
Угол произведения: 75.0 (ожидаем 75)

Модули перемножились ($2\cdot3=6$), а углы сложились ($30+45=75$) — ровно как обещает формула.

Как работает под капотом

Сложение углов при умножении — не случайность. Оно зеркалит правило $\cos(\alpha+\beta)$ и $\sin(\alpha+\beta)$ из тригонометрии. Именно эта связь намекает, что за тригонометрической формой прячется что-то экспоненциальное: ведь только у экспоненты «умножение превращается в сложение показателей». Эту догадку формализует формула Эйлера в следующем уроке.

Частые ошибки

• Писать $z=r\cos\varphi+i\sin\varphi$ без скобок — тогда модуль не множит синус. Правильно: $r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$.
• Складывать модули при умножении. Модули умножаются, складываются углы.
• Забывать переводить градусы в радианы перед вызовом cos/sin в Python.

Итог

• Тригонометрическая форма: $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$.
• При умножении модули перемножаются, аргументы складываются.
• Эта форма — мост к показательной записи через формулу Эйлера.