Формула Эйлера

Самая красивая формула математики, связывающая экспоненту, тригонометрию и мнимую единицу.

Формула Эйлера: $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ — комплексная экспонента есть точка на единичной окружности под углом $\varphi$.

Что она говорит

Возведём число $e$ в чисто мнимую степень $i\varphi$. Результат — комплексное число, лежащее на окружности радиуса $1$ под углом $\varphi$:

$$e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi.$$

Это значит, что показательная функция от мнимого аргумента вращается по единичной окружности. При $\varphi=0$ получаем $1$, при $\varphi=\pi/2$ — число $i$, при $\varphi=\pi$ — число $-1$.

Откуда она следует

Разложим экспоненту в ряд и подставим $x=i\varphi$. Степени $i$ циклически повторяются: $i^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,\dots$ Если сгруппировать слагаемые с чётными и нечётными степенями, чётные дадут ряд для $\cos\varphi$, а нечётные (с множителем $i$) — ряд для $\sin\varphi$. Именно так и доказывается формула. Проверим её численно прямым подсчётом частичной суммы ряда:

import math
frac = math.factorial
phi = 1.0  # радиан
# Частичная сумма ряда для e^{i*phi}: сумма (i*phi)^n / n!
re, im = 0.0, 0.0
for n in range(20):
    # i^n циклически: 1, i, -1, -i
    coef = phi**n / frac(n)
    r = n % 4
    if r == 0: re += coef
    elif r == 1: im += coef
    elif r == 2: re -= coef
    else: im -= coef
print("Ряд:  re =", round(re, 6), " im =", round(im, 6))
print("cos,sin:", round(math.cos(phi), 6), round(math.sin(phi), 6))

Вывод:

Ряд:  re = 0.540302  im = 0.841471
cos,sin: 0.540302 0.841471

Сумма ряда дала ровно $\cos1+i\sin1$ — формула Эйлера подтверждена численно.

Прямая проверка через cmath

import cmath, math
phi = math.pi / 3  # 60 градусов
left = cmath.exp(1j * phi)
right = complex(math.cos(phi), math.sin(phi))
print("e^{i*phi} =", complex(round(left.real, 4), round(left.imag, 4)))
print("cos+isin  =", complex(round(right.real, 4), round(right.imag, 4)))

Вывод:

e^{i*phi} = (0.5+0.866j)
cos+isin  = (0.5+0.866j)

Как работает под капотом

Формула Эйлера объясняет, почему при умножении углы складываются: $e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$ — обычное свойство степеней $e$. То, что в тригонометрической форме выглядело загадкой, в показательной становится тривиальным. Поэтому инженеры почти всегда записывают колебания через $e^{i\varphi}$, а не через синусы.

Частые ошибки

• Думать, что $e^{i\varphi}$ — «обычное» большое число. Это точка на единичной окружности, её модуль всегда $1$.
• Подставлять угол в градусах. Аргумент экспоненты — в радианах.
• Путать $e^{i\varphi}$ и $e^{\varphi}$: первое вращается, второе растёт.

Итог

• Формула Эйлера: $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$.
• Комплексная экспонента — точка на единичной окружности под углом $\varphi$.
• Свойство $e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$ объясняет сложение углов при умножении.