Тождество Эйлера и показательная форма

Подставляем $\varphi=\pi$ и получаем самую знаменитую формулу, а заодно учимся записывать любое число как $re^{i\varphi}$.

Показательная форма: $z=re^{i\varphi}$, где $r=|z|$ и $\varphi=\arg(z)$.

Тождество Эйлера

Подставим в формулу Эйлера угол $\varphi=\pi$. Тогда $\cos\pi=-1$, $\sin\pi=0$, и получается:

$$e^{i\pi}=-1,\qquad\text{то есть}\qquad e^{i\pi}+1=0.$$

Эту формулу часто называют самой красивой в математике: она связывает пять фундаментальных констант — $e$, $i$, $\pi$, $1$ и $0$ — в одном коротком равенстве. Проверим её:

import cmath, math
rez = cmath.exp(1j * math.pi)
print("e^{i*pi} =", rez)
print("e^{i*pi} + 1 ~", round((rez + 1).real, 6))

Вывод:

e^{i*pi} = (-1+1.2246467991473532e-16j)
e^{i*pi} + 1 ~ 0.0

Мнимая часть выходит крошечной (порядка $10^{-16}$) из-за округления чисел с плавающей точкой, но по сути $e^{i\pi}=-1$.

Показательная форма числа

Тригонометрическую форму $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ теперь можно записать совсем кратко:

$$z=re^{i\varphi}.$$

Это и есть показательная форма. Она делает арифметику в полярных координатах элементарной:

• Умножение: $r_1 e^{i\varphi_1}\cdot r_2 e^{i\varphi_2}=r_1 r_2\, e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$.
• Деление: $\dfrac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\varphi_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}\,e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}$.
• Степень: $\big(re^{i\varphi}\big)^n=r^n e^{in\varphi}$.

Последнее — это формула Муавра, ей посвящён следующий раздел.

import cmath, math
# z = 2 * e^{i*pi/6}
z = cmath.rect(2, math.pi/6)
print("z =", complex(round(z.real, 4), round(z.imag, 4)))
print("модуль:", round(abs(z), 4), "  угол(град):", round(math.degrees(cmath.phase(z)), 2))

Вывод:

z = (1.7321+1j)
модуль: 2.0   угол(град): 30.0

Как работает под капотом

Показательная форма — это «родной язык» комплексных чисел для физики. Вращающийся вектор $e^{i\omega t}$ описывает любое гармоническое колебание: при росте времени $t$ угол $\omega t$ увеличивается, и вектор крутится с угловой скоростью $\omega$. Всё, что нужно знать о колебании, — это амплитуда $r$ и начальная фаза, упакованные в одно число $re^{i\varphi}$.

Частые ошибки

• Считать $e^{i\pi}$ просто «минус единицей» без понимания, что это точка на окружности под углом $\pi$.
• Удивляться остатку $10^{-16}$ в мнимой части — это нормальная погрешность float, а не ошибка формулы.
• Записывать степень как $r e^{in\varphi}$, забыв возвести модуль: правильно $r^n e^{in\varphi}$.

Итог

• Тождество Эйлера: $e^{i\pi}+1=0$ связывает $e,i,\pi,1,0$.
• Показательная форма $z=re^{i\varphi}$ делает умножение, деление и степень тривиальными.
• Вращающийся вектор $e^{i\omega t}$ — основа описания колебаний.