Умножение и формула FOIL

Перемножаем как двучлены, а потом используем главное правило $i^2=-1$.

Умножение комплексных чисел: раскрываем скобки как обычно и заменяем $i^2$ на $-1$.

Вывод формулы

Перемножим $(a+bi)(c+di)$, раскрывая скобки («каждый на каждый»):

$$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2.$$

Слагаемое $bdi^2$ из-за правила $i^2=-1$ превращается в $-bd$. Собираем вещественную и мнимую части:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$

Это и есть рабочая формула. Запоминать её необязательно — достаточно помнить «раскрой скобки и замени $i^2=-1$».

Пример

Посчитаем $(2+3i)(1-4i)$. Вещественная часть: $2\cdot1-3\cdot(-4)=2+12=14$. Мнимая часть: $2\cdot(-4)+3\cdot1=-8+3=-5$. Итог $14-5i$.

z1 = 2 + 3j
z2 = 1 - 4j
print("Произведение:", z1 * z2)
# Проверим по формуле (ac - bd) + (ad + bc)i
a, b = z1.real, z1.imag
c, d = z2.real, z2.imag
re = a*c - b*d
im = a*d + b*c
print("По формуле:", complex(re, im))

Вывод:

Произведение: (14-5j)
По формуле: (14-5j)

Важный частный случай

Перемножим число само на сопряжённое: $(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2 i^2=a^2+b^2$. Получилось вещественное число, равное квадрату модуля. Этот факт — ключ к делению, которым мы займёмся в следующем уроке.

z = 2 + 3j
print("z * сопряжённое:", z * z.conjugate())
print("|z|^2:", abs(z)**2)

Вывод:

z * сопряжённое: (13+0j)
|z|^2: 12.999999999999998

Как работает под капотом

Заметьте: модуль произведения равен произведению модулей, $|z_1 z_2|=|z_1|\,|z_2|$. То есть умножение «складывает длины мультипликативно». А ещё, как мы увидим в разделе про форму Эйлера, оно складывает углы. Поэтому умножение комплексных чисел — это поворот с растяжением. Сейчас достаточно запомнить факт про модули.

Частые ошибки

• Забыть, что $i^2=-1$, и оставить $bdi^2$ как есть. Это самая частая ошибка.
• Перепутать знаки в формуле: вещественная часть $ac-bd$ (с минусом!), мнимая $ad+bc$.
• Считать, что произведение двух мнимых чисел снова мнимое: $i\cdot i=-1$ — чисто вещественное.

Итог

• Умножение — это раскрытие скобок плюс замена $i^2=-1$.
• Формула: $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$.
• Произведение числа на сопряжённое равно $a^2+b^2=|z|^2$ — вещественному числу.