Сложение и вычитание

Самые простые действия: складываем вещественные части с вещественными, мнимые с мнимыми.

Сложение комплексных чисел выполняется покоординатно: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$.

Правило

Сложение и вычитание комплексных чисел не таят сюрпризов. Складываем отдельно вещественные части и отдельно мнимые:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$$

Вычитание устроено так же, только со знаком минус:

$$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$$

Например, $(2+3i)+(1-4i)=(2+1)+(3-4)i=3-i$.

Геометрический смысл

Поскольку $z$ — это точка (или вектор) на плоскости, сложение комплексных чисел — это сложение векторов по правилу параллелограмма. Прибавить $1-4i$ значит сдвинуть точку на $1$ вправо и на $4$ вниз. Эта связь делает комплексное сложение наглядным: оно ведёт себя как перемещение на плоскости.

Проверка расчётом

z1 = 2 + 3j
z2 = 1 - 4j
print("Сумма:", z1 + z2)
print("Разность:", z1 - z2)
# Проверим, что это и правда покоординатно
re = z1.real + z2.real
im = z1.imag + z2.imag
print("Сумма вручную:", complex(re, im))

Вывод:

Сумма: (3-1j)
Разность: (1+7j)
Сумма вручную: (3-1j)

Разность $(2+3i)-(1-4i)=1+7i$: вычли вещественные $2-1=1$ и мнимые $3-(-4)=7$.

Как работает под капотом

Комплексное число хранится как пара (real, imag), и оператор + просто складывает эти две пары компонент. Никаких особых правил, кроме покоординатности, тут нет — сложность появляется только при умножении, где вступает в игру $i^2=-1$.

Частые ошибки

Складывать вещественную часть одного числа с мнимой частью другого. Складываются только однотипные части.
Терять знак при вычитании мнимой части: $3-(-4)=7$, а не $-1$.
Писать ответ как $3+(-1)i$ вместо более аккуратного $3-i$.

Итог

Сложение и вычитание — покоординатные операции.
Геометрически это сложение/вычитание векторов на плоскости.
Оператор + в Python складывает комплексные числа напрямую.