Сопряжение и деление

Учимся делить, домножая на сопряжённое, чтобы знаменатель стал вещественным.

Сопряжённое число $\bar{z}=a-bi$ получается сменой знака мнимой части; при этом $z\bar{z}=|z|^2$ — вещественно.

Свойства сопряжения

Сопряжение — отражение точки относительно вещественной оси. У него несколько удобных свойств:

$\overline{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}$ — сопряжение суммы есть сумма сопряжённых.
$\overline{z_1 z_2}=\bar{z_1}\,\bar{z_2}$ — то же для произведения.
$z\bar{z}=a^2+b^2=|z|^2$ — главное свойство для деления.

Как делить

Деление $\dfrac{z_1}{z_2}$ кажется сложным: в знаменателе мнимая часть. Трюк — домножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю. Тогда знаменатель становится вещественным:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\,\bar{z_2}}{z_2\,\bar{z_2}}=\frac{z_1\,\bar{z_2}}{|z_2|^2}.$$

Посчитаем $\dfrac{2+3i}{1-i}$. Сопряжённое к знаменателю — $1+i$. Домножаем:

$$\frac{2+3i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{(2+3i)(1+i)}{1^2+1^2}=\frac{-1+5i}{2}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{2}i.$$

z1 = 2 + 3j
z2 = 1 - 1j
print("Частное:", z1 / z2)
# Проверим методом домножения на сопряжённое
chisl = z1 * z2.conjugate()
znam = abs(z2)**2
print("Через сопряжённое:", chisl / znam)

Вывод:

Частное: (-0.5+2.5j)
Через сопряжённое: (-0.5+2.5j)

Оба способа дают $-0.5+2.5i$, что совпадает с ручным расчётом.

Как работает под капотом

Деление на комплексное число — это «обратная операция» к умножению. Поскольку умножение поворачивает и растягивает, деление поворачивает в обратную сторону и сжимает. Модуль частного равен частному модулей: $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$. Домножение на сопряжённое — просто алгебраический способ привести результат к виду $a+bi$.

Частые ошибки

Домножать только числитель. Домножать нужно и числитель, и знаменатель на одно и то же.
Брать сопряжённое к числителю вместо знаменателя. Сопряжённое берём к знаменателю — чтобы он стал вещественным.
Ошибаться в знаке: $\overline{1-i}=1+i$, знак меняется только у мнимой части.

Итог

Сопряжённое $\bar{z}=a-bi$ — отражение относительно вещественной оси.
Деление выполняется домножением на сопряжённое к знаменателю: $\dfrac{z_1\bar{z_2}}{|z_2|^2}$.
Модуль частного равен частному модулей.