Индуктивное сопротивление и концевые вихри

Самое «несправедливое» сопротивление возникает не от трения, а от самой подъёмной силы.

Индуктивное сопротивление — часть сопротивления, неизбежно возникающая при создании подъёмной силы из-за перетекания воздуха через концы крыла и образования концевых вихрей.

Крыло конечного размаха создаёт под собой повышенное давление, а над собой — пониженное. На концах крыла воздух перетекает снизу вверх, закручиваясь в мощные концевые вихри. Энергия на их раскрутку — это и есть индуктивное сопротивление.

Формула индуктивного сопротивления

Коэффициент индуктивного сопротивления:

$$ C_{Di} = \frac{C_L^2}{\pi\, e\, A} $$

Здесь $A$ — удлинение крыла, $e$ — коэффициент эффективности (для идеального эллиптического крыла $e=1$). Ключевое: $C_{Di}$ растёт как квадрат $C_L$. Значит, на малой скорости (большой $C_L$) индуктивное сопротивление доминирует.

Считаем вклад индуктивного сопротивления

import math
Cd0 = 0.020; e = 0.80; A = 8.0
for Cl in (0.3, 0.6, 1.0, 1.4):
    Cdi = Cl * Cl / (math.pi * e * A)
    Cd = Cd0 + Cdi
    share = Cdi / Cd * 100
    print(f"Cl={Cl:.1f}: Cdi={Cdi:.4f}  доля индуктивного={share:4.1f}%")

Вывод:

Cl=0.3: Cdi=0.0045  доля индуктивного=18.3%
Cl=0.6: Cdi=0.0179  доля индуктивного=47.2%
Cl=1.0: Cdi=0.0497  доля индуктивного=71.3%
Cl=1.4: Cdi=0.0975  доля индуктивного=83.0%

При $C_L=1{,}4$ (полёт у сваливания) более 80% сопротивления — индуктивное. Вот почему тяжело лететь медленно: тянуть приходится «за вихри».

Как работает под капотом

Концевой вихрь отклоняет набегающий поток вниз (скос потока). Из-за этого эффективный угол атаки крыла уменьшается, а вектор подъёмной силы наклоняется назад. Его горизонтальная проекция и есть индуктивное сопротивление. Чем длиннее крыло, тем меньше доля «испорченных» концов — поэтому планёры делают с очень длинными узкими крыльями. Винглеты на концах крыла лайнеров борются именно с этим вихрем.

Частые ошибки

• Считать индуктивное сопротивление трением. Оно не зависит от вязкости — это «плата» за подъёмную силу конечного крыла.
• Думать, что оно постоянно. $C_{Di}\sim C_L^2$, поэтому оно резко падает с ростом скорости.
• Игнорировать его на взлёте: именно индуктивное сопротивление делает медленный полёт «энергетически дорогим».

Итог

• Индуктивное сопротивление рождается из концевых вихрей — неизбежной платы за подъёмную силу.
• $C_{Di}=C_L^2/(\pi e A)$: растёт как квадрат $C_L$, поэтому доминирует на малой скорости.
• Длинное крыло и винглеты уменьшают концевые вихри и индуктивное сопротивление.