Число Маха и скорость звука

На больших скоростях главным параметром становится не скорость сама по себе, а её отношение к скорости звука.

Число Маха $M = \dfrac{v}{a}$ — отношение скорости полёта к местной скорости звука; оно определяет, насколько важна сжимаемость воздуха.

Пока самолёт летит медленно, воздух можно считать несжимаемым. Но по мере приближения к скорости звука сжимаемость начинает менять всю картину обтекания. Граница важности задаётся числом Маха.

Скорость звука зависит от температуры

Скорость звука в воздухе зависит только от температуры:

$$ a = \sqrt{\gamma R T} $$

где $\gamma=1{,}4$ — показатель адиабаты воздуха, $R=287$ Дж/(кг·К). На высоте холоднее, поэтому скорость звука меньше — и тот же самолёт на той же путевой скорости имеет там большее число Маха.

import math
gamma = 1.4; R = 287.05
for T_c, place in ((15, "у земли"), (-56.5, "на 11 км")):
    T = T_c + 273.15
    a = math.sqrt(gamma * R * T)
    print(f"{place:10s}: T={T_c:5.1f} C, скорость звука a = {a:5.1f} м/с")
    v = 250.0  # м/с путевая
    print(f"           при v=250 м/с число Маха M = {v/a:.2f}")

Вывод:

у земли   : T= 15.0 C, скорость звука a = 340.3 м/с
           при v=250 м/с число Маха M = 0.73
на 11 км  : T=-56.5 C, скорость звука a = 295.1 м/с
           при v=250 м/с число Маха M = 0.85

Та же скорость 250 м/с даёт $M=0{,}73$ у земли, но $M=0{,}85$ на высоте — ближе к проблемной зоне. Поэтому крейсерскую скорость лайнеров задают именно в числах Маха.

Режимы по числу Маха

Режим	Диапазон M
Дозвуковой	$M \lt 0{,}8$
Околозвуковой (трансзвуковой)	$0{,}8 \le M \le 1{,}2$
Сверхзвуковой	$1{,}2 \lt M \lt 5$
Гиперзвуковой	$M \ge 5$

Как работает под капотом

Скорость звука — это скорость распространения малых возмущений давления в воздухе. Когда самолёт летит медленнее звука, воздух «узнаёт» о его приближении заранее и плавно расступается. Когда скорость приближается к звуковой, возмущения не успевают уйти вперёд, накапливаются — и образуются скачки уплотнения. Поэтому число Маха, а не сама скорость, определяет физику обтекания.

Частые ошибки

Считать скорость звука постоянной. Она зависит от температуры: на высоте звук медленнее.
Думать, что проблемы начинаются строго на $M=1$. Местные сверхзвуковые зоны на крыле появляются уже при $M\approx 0{,}8$.
Путать путевую скорость и число Маха: на высоте одна и та же скорость соответствует большему $M$.

Итог

Число Маха $M=v/a$ — отношение скорости к скорости звука, мера важности сжимаемости.
Скорость звука $a=\sqrt{\gamma R T}$ зависит только от температуры и на высоте меньше.
Режимы делятся на дозвуковой, околозвуковой, сверхзвуковой и гиперзвуковой по диапазону $M$.