Математика
Для программистов и любознательных
Математика, которая реально нужна в программировании и на экзаменах: логика, комбинаторика, системы счисления, немного теории чисел. Разбираем так, чтобы было понятно, а не страшно.
Парадокс дней рождения: почему в классе наверняка есть двое, родившихся в один день
В классе из 30 человек шанс, что у кого-то совпадут дни рождения, около 70%. Звучит как магия, но это чистая математика — и она же объясняет, почему ломаются хеши и блокчейн.
Почему 0,999… = 1 — и это вообще не ошибка
Звучит как подвох, но 0,999… — это не «почти единица», а ровно 1. Разбираем тремя способами, почему бесконечный хвост девяток не оставляет ни малейшего зазора.
Как казино всегда остаётся в плюсе (и при чём тут математика)
Казино не жульничает и не подкручивает столы — ему это не нужно. Весь его доход спрятан в одной маленькой ячейке рулетки и в школьной формуле, которую ты, скорее всего, уже проходил.
Булева алгебра: как из чистой логики собрали процессор
В середине XIX века математик придумал алгебру, где есть только «истина» и «ложь». Он и не подозревал, что через сто лет на ней построят все компьютеры мира — от калькулятора до суперкомпьютера.
Системы счисления для ЕГЭ: двоичная за 15 минут
Перевод между системами счисления пугает на ЕГЭ по информатике зря — это механика на пару правил. Разбираем двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
Фракталы: фигуры с дробной размерностью
Сколько измерений у береговой линии? Не одно и не два, а что-то между — например, 1,25. Фракталы — это фигуры, которые выглядят одинаково на любом масштабе, а их «размерность» оказывается дробным числом. Звучит как абсурд, но именно так устроена природа.
Почему уравнение пятой степени нельзя решить формулой
Для квадратного уравнения есть формула через дискриминант. Для кубического и четвёртого — есть свои, посложнее. А для пятой степени общей формулы в радикалах не существует, и это не от того, что её не нашли, — доказано, что её нет в принципе.
Лента Мёбиуса: поверхность, у которой всего одна сторона
Возьмите полоску бумаги, перекрутите её один раз и склейте в кольцо. Вы получите фигуру, у которой нет ни внутренней, ни внешней стороны, а граница состоит из одной-единственной линии. Так начинается топология.
Тайна последней цифры карты: как алгоритм Луна ловит опечатки
Введите номер карты с одной ошибкой — и сайт мгновенно скажет «номер неверный», ещё до всякой связи с банком. Это не магия и не база данных, а простая арифметическая проверка, придуманная в IBM в 1950-х.
Математика сжатия: почему текст ужимается, а случайный шум — нет
Архиватор уменьшает книгу в несколько раз, но бессилен перед случайным набором байтов. Дело не в хитрости программы, а в фундаментальном пределе, который задаёт величина под названием энтропия.
Парадокс Монти Холла: почему всегда нужно менять дверь
Три двери, за одной автомобиль. Вы выбрали, ведущий открыл пустую дверь и предлагает поменять выбор. Интуиция кричит «без разницы». Интуиция ошибается — и это можно доказать.
Как работает шифрование с открытым ключом: RSA простыми словами
Вы отправляете секрет незнакомцу через открытый канал, и никто по дороге не может его прочитать. Звучит как магия, но это всего лишь умножение и остатки от деления — разберём RSA по шагам.
Мнимые числа: зачем понадобился корень из минус единицы
В школе говорят, что из отрицательного числа корень не извлекается. Это полуправда. Математики придумали число, квадрат которого равен −1, поначалу считали его выдумкой, а потом оказалось, что без него не работают радио, электросети и квантовая физика.
Как работает цифровая подпись и почему её невозможно подделать
Подпись на бумаге легко скопировать, а цифровую — нет, даже если у вас есть само сообщение и подпись к нему. Разбираемся, как математика гарантирует, что документ подписали именно вы и его никто не менял.
Теорема Пифагора: одна формула и более трёхсот доказательств
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов — это знают все. Но почему это правда? Способов доказать оказалось так много, что их собирают в книги, а одно придумал даже президент США.
Почему именно простые числа защищают ваши пароли
Простые числа кажутся забавой математиков, но без них рухнул бы весь защищённый интернет. Разберёмся, что в них такого особенного и почему хакеры их боятся.
Теория вероятностей против спама: как фильтры думают по Байесу
Откуда почта знает, что письмо про «выигрыш миллиона» — спам, а от коллеги — нет? Не из чёрного списка слов, а из теоремы XVIII века, которая учит обновлять догадки по мере поступления улик.
Как азартные игры породили теорию вероятностей
Серьёзная наука о случайностях родилась не в университете, а за игорным столом. Двое французских математиков взялись разрулить спор о ставках — и нечаянно изобрели теорию вероятностей.
Теорема Пифагора в сотне доказательств — зачем так много
Одну и ту же теорему люди доказали сотни раз — мечом геометрии, ножницами разрезаний и даже президентским пером. Зачем человечеству столько способов сказать одно и то же про прямоугольный треугольник?
Как навигатор находит кратчайший путь: алгоритм Дейкстры на пальцах
Ты вбиваешь адрес, и за долю секунды навигатор выбирает один маршрут из миллионов возможных. За этой магией стоит идея, которую один математик придумал за 20 минут в кафе — алгоритм Дейкстры.
Как данные чинят сами себя: коды коррекции ошибок Хэмминга
Царапина на диске, помеха в эфире, сбойный бит в памяти — а файл открывается без единой ошибки. Это не везение, а математика: коды Хэмминга умеют не только заметить искажение, но и исправить его.
Зачем математикам мнимые числа и где они в реальной жизни
Корень из минус единицы вроде бы не существует — но без него не работали бы твой Wi-Fi, наушники и томограф в больнице. Разбираемся, как «выдуманное» число стало одним из самых полезных инструментов в технике.
Можно ли услышать форму барабана
Закрой глаза и слушай барабан. Сможешь ли ты по одному звуку понять, какой он формы — круглый, квадратный или вытянутый? Этот наивный детский вопрос полвека мучил математиков и привёл к ошеломляющему ответу.
Задача о мостах Кёнигсберга: как родилась теория графов
Жители прусского города придумали себе головоломку: пройти по всем семи мостам, не ступив ни на один дважды. Никто не справился — а потом пришёл Эйлер и доказал, что это невозможно. Так родилась целая наука.
Арифметика часов: как работает модулярная математика в хешах и не только
Если к 11 часам прибавить 3, получится не 14, а 2. Эта школьная странность с часами оказалась мощнейшим инструментом — на ней держатся хеш-таблицы, криптография и даже генераторы случайных чисел.
Бесконечности бывают разного размера — и это доказано
Кажется, что бесконечность — это просто бесконечность, и больше неё ничего не бывает. Но математики доказали: одни бесконечности реально больше других. И доказательство умещается в один хитрый трюк.
Теорема о четырёх красках: почему любой карте хватит четырёх цветов
Возьми любую карту мира, любую — хоть выдуманную, хоть с тысячей государств. Чтобы соседние страны не сливались по цвету, тебе всегда хватит ровно четырёх красок. Не пяти, не десяти. Звучит как фокус, но это доказанная теорема.
Теория графов: как навигатор находит путь, а соцсеть — друзей
Карта города и список ваших друзей — это, с точки зрения математики, одно и то же: граф. Узнаем, как алгоритмы на графах прокладывают маршруты и подсказывают «возможно, вы знакомы».
Числа Фибоначчи в подсолнухе, шишке и галактике
Подсолнух, сосновая шишка и закрученный рукав галактики прячут одну и ту же последовательность чисел. Разбираемся, почему природа снова и снова выбирает Фибоначчи и при чём тут жадные семечки.
Как один лист бумаги, сложенный 42 раза, дотянулся бы до Луны
Возьми обычный лист бумаги и сложи его пополам. Потом ещё, и ещё. Если бы ты смог проделать это 42 раза, стопка дотянулась бы до Луны. Звучит как фокус, но это чистая математика.
Гипотеза Коллатца: детская задачка, которую никто не может решить
Возьмите любое число. Чётное — делите на два, нечётное — умножайте на три и прибавляйте один. Повторяйте. Кажется, рано или поздно всегда придёте к единице. Доказать это не может никто уже почти сто лет.
Лента Мёбиуса: поверхность, у которой одна сторона
Возьми бумажную полоску, перекрути один конец и склей в кольцо. Поздравляю: у тебя в руках поверхность, у которой одна сторона и один край. Звучит как фокус, но это строгая математика.
Почему пчёлы строят соты шестиугольниками, а не квадратами
Пчёлы никогда не учили геометрию, но почему-то выбрали ровно ту форму, которую математики признали идеальной только в XXI веке. Разбираемся, что заставляет крошечных насекомых строить мир из шестиугольников.
Золотое сечение: где оно правда, а где красивая выдумка
Говорят, золотое сечение спрятано в Парфеноне, «Моне Лизе» и пропорциях человеческого тела. Часть этого — миф, выросший из желания видеть гармонию там, где её нет. Но настоящая математика числа φ ещё интереснее легенд.
Теория хаоса и эффект бабочки: когда математика непредсказуема
Взмах крыльев бабочки в Бразилии может вызвать торнадо в Техасе — звучит как метафора, но за ней строгая математика. Простые уравнения способны порождать поведение настолько чувствительное к началу, что предсказать его невозможно в принципе.
Простых чисел бесконечно много: доказательство, которому 2300 лет
Простые числа становятся всё реже, чем дальше мы идём по числовой прямой. Может, когда-нибудь они закончатся? Евклид доказал, что нет — и сделал это так красиво, что его аргумент до сих пор учат наизусть.