Парадокс Монти Холла: почему всегда нужно менять дверь

Поменяв дверь, вы выигрываете в двух случаях из трёх. И да, это не опечатка.

Ведущий, открывающий пустую дверь, не добавляет случайности — он добавляет информацию. В этом весь фокус.

Условие задачи

Вы на игровом шоу. Перед вами три закрытые двери. За одной — автомобиль, за двумя другими — козы. Вы указываете на дверь, скажем, №1. Но ведущий не открывает её сразу. Вместо этого он, зная, где машина, открывает одну из двух оставшихся дверей — за ней оказывается коза. Теперь закрыты ваша дверь и ещё одна. Ведущий спрашивает: «Хотите поменять выбор?»

Большинство людей рассуждает так: осталось две двери, машина за одной из них, значит, шанс 50 на 50, и менять смысла нет. Это интуитивно очевидно — и совершенно неверно.

Правильный ответ: менять надо всегда

Если вы меняете дверь, вероятность выиграть машину равна $\frac{2}{3}$. Если остаётесь — всего $\frac{1}{3}$. Смена удваивает ваши шансы. Звучит абсурдно, но давайте разберёмся, почему.

Откуда берётся две трети

Ключ к разгадке — момент первого выбора. Когда вы тыкали в дверь №1, вы ещё ничего не знали, поэтому:

• с вероятностью $\frac{1}{3}$ вы сразу угадали машину;
• с вероятностью $\frac{2}{3}$ вы указали на козу.

Эти вероятности не меняются от того, что ведущий потом откроет дверь. Ваша дверь как была «правильной» с шансом 1/3, так и осталась. А значит, на оставшуюся дверь приходится весь остальной шанс — 2/3.

Разберём по случаям

Представьте, что вы всегда выбираете дверь №1, а потом всегда меняете. Машина равновероятно за любой из трёх дверей.

Стратегия «всегда менять» выигрывает в двух строках из трёх. Вот и $\frac{2}{3}$.

Почему интуиция подводит

Мозг считает, что две закрытые двери симметричны — будто машину переложили в случайную из них. Но симметрии нет! Ведущий действовал не случайно: он намеренно избегал двери с машиной. Если вы изначально ткнули в козу (а это два случая из трёх), ведущий вынужден показать вторую козу, и оставшаяся дверь гарантированно прячет машину. Информация ведущего «перетекает» на ту дверь, которую он не тронул.

Трюк с сотней дверей

Если две трети всё ещё не убеждают, увеличим масштаб. Пусть дверей сто, машина за одной. Вы выбираете дверь №1 — шанс угадать жалкий 1%. Теперь ведущий открывает 98 пустых дверей из оставшихся, оставив закрытой только вашу и ещё одну. Будете ли вы всерьёз думать, что машина с равной вероятностью за вашей наугад выбранной дверью и за той единственной, которую ведущий зачем-то пощадил? Очевидно, надо менять — там почти наверняка машина (99%).

Проверим экспериментом

Лучший способ поверить — сыграть тысячи раз. Симуляция не врёт.

import random

def igra(menyat):
    auto = random.randint(1, 3)
    vybor = random.randint(1, 3)
    # ведущий открывает пустую дверь, не вашу и не с машиной
    otkryt = random.choice([d for d in (1, 2, 3) if d != vybor and d != auto])
    if menyat:
        vybor = next(d for d in (1, 2, 3) if d != vybor and d != otkryt)
    return vybor == auto

N = 100000
pobedy_smena = sum(igra(True) for _ in range(N))
pobedy_ostat = sum(igra(False) for _ in range(N))
print(f"Меняем дверь: {pobedy_smena / N:.3f}")
print(f"Остаёмся:     {pobedy_ostat / N:.3f}")

Код стабильно выдаёт примерно 0,667 против 0,333.

Историческая драма

В 1990 году журналистка Мэрилин вос Савант опубликовала правильный ответ в своей колонке. Ей пришли тысячи возмущённых писем, в том числе от профессоров математики, обвинявших её в безграмотности. Она была права, они — нет. Этот эпизод стал хрестоматийным примером того, как интуиция систематически обманывает даже умных людей, а строгое рассуждение и эксперимент расставляют всё по местам.