Теорема Пифагора: одна формула и более трёхсот доказательств

Самая знаменитая теорема на свете — это не формула, а утверждение о площадях, которое можно увидеть глазами.

«Квадрат гипотенузы» — это буквально квадрат, построенный на гипотенузе. Теорема говорит о площадях фигур, а не о возведении чисел в степень.

Что именно утверждает теорема

В прямоугольном треугольнике две короткие стороны (катеты) образуют прямой угол, а самая длинная сторона напротив прямого угла называется гипотенузой. Если обозначить катеты $a$ и $b$, а гипотенузу $c$, то:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Греки мыслили геометрически, и для них $a^2$ — это площадь квадрата со стороной $a$. Теорема буквально говорит: если построить квадраты на трёх сторонах треугольника, то площадь большого квадрата равна сумме площадей двух маленьких. Классический треугольник со сторонами 3, 4, 5 проверяется мгновенно: $9 + 16 = 25$.

Доказательство перекладыванием

Самое наглядное доказательство не требует ни одной формулы — только ножницы. Возьмём большой квадрат со стороной $a + b$ и разместим внутри четыре одинаковых прямоугольных треугольника двумя разными способами.

Первая раскладка

Сдвинем четыре треугольника в углы так, чтобы в центре остался один квадрат со стороной $c$ (это гипотенуза). Площадь пустого места = $c^2$.

Вторая раскладка

Переставим те же четыре треугольника иначе — и пустое место распадётся на два квадрата со сторонами $a$ и $b$. Площадь пустого места = $a^2 + b^2$.

Но мы убирали из одного и того же большого квадрата одни и те же четыре треугольника! Значит, оставшаяся площадь одинакова в обоих случаях:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Никаких выкладок — просто два способа разложить пазл. Алгебраически то же самое: площадь большого квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ равна площади наклонного квадрата $c^2$ плюс четыре треугольника $4 \cdot \frac{ab}{2} = 2ab$. Сокращаем $2ab$ — и формула готова.

Почему доказательств так много

В 1940 году вышла книга Элиши Лумиса «The Pythagorean Proposition», где собрано 367 различных доказательств. С тех пор их стало ещё больше. Почему теорема настолько щедра на доказательства?

Дело в том, что она связывает три разные математические идеи: площадь, длину и подобие фигур. К ней можно подойти с любой стороны — через перекладывание фигур, через подобные треугольники, через тригонометрию, через векторы, через теорему о вписанной окружности. Каждый новый язык математики даёт свежий способ её увидеть.

Доказательство президента

В 1876 году будущий 20-й президент США Джеймс Гарфилд, тогда ещё конгрессмен, придумал собственное доказательство. Он сложил две копии треугольника в трапецию и посчитал её площадь двумя способами — как трапецию и как сумму трёх треугольников. Приравняв результаты, он получил ту же формулу. Доказательство опубликовали в журнале, и оно вошло в учебники.

from math import isclose, hypot

# Проверим теорему на «пифагоровых тройках»
troyki = [(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25)]
for a, b, c in troyki:
    levo = a**2 + b**2
    pravo = c**2
    print(f"{a}^2 + {b}^2 = {levo}, {c}^2 = {pravo}, верно: {levo == pravo}")

Почему она бессмертна

Теорема Пифагора — это мост между алгеброй и геометрией, фундамент тригонометрии, основа формулы расстояния между точками и даже первый шаг к понятию метрики в физике. Когда GPS вычисляет, как далеко вы от точки назначения, или когда игровой движок считает дистанцию между объектами, под капотом работает именно она. Триста с лишним доказательств — это дань уважения утверждению, которое оказалось нужным буквально везде.