Теорема Гюйгенса—Штейнера

Перенос оси на расстояние d увеличивает момент инерции на величину A·d².

Теорема Штейнера (Гюйгенса—Штейнера): момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной центральной оси плюс произведение площади (массы) на квадрат расстояния между осями: $I = I_C + A\,d^2$.

Формулы $bh^3/12$ и $\pi d^4/64$ дают момент инерции относительно собственной центральной оси фигуры. Но в составном сечении части смещены от общей оси, и складывать их «как есть» нельзя. Теорема Штейнера решает проблему: чтобы перенести момент инерции на параллельную ось, отстоящую на $d$, добавляем $A d^2$:

$$I = I_C + A\,d^2.$$

Эта же теорема в динамике записывается для масс: $J = J_C + m d^2$, где $J$ — момент инерции тела относительно оси вращения. Перенос всегда увеличивает момент инерции, потому что центральная ось даёт минимум.

Один мостик между статикой и динамикой

Теорема Штейнера — редкий случай формулы, которая одинаково работает и в геометрии сечений (момент инерции площади, м⁴), и в динамике вращения (момент инерции массы, кг·м²). В статике она помогает считать жёсткость составных балок, в динамике — определять, как тело сопротивляется раскручиванию вокруг произвольной оси. Маховик, коленвал, ротор турбины — для всех нужно знать момент инерции относительно реальной оси вращения, а табличные формулы дают его лишь относительно центральной оси. Теорема Штейнера перебрасывает мостик между ними. Поэтому, освоив её здесь на сечениях, вы уже наполовину готовы к динамике вращения из седьмого раздела, где та же $J = J_C + m d^2$ появится при расчёте вращающихся механизмов. Это пример глубокого единства механики: одна геометрическая идея — перенос оси — служит сразу двум разделам.

Составное сечение

Алгоритм для составного сечения: найти общий центр тяжести, затем для каждой части посчитать её собственный $I_{Ci}$ и перенести к общей центральной оси через $+A_i d_i^2$, где $d_i$ — расстояние от центра части до общего центра. Сложим всё для двутавроподобного сечения из трёх прямоугольников.

# части: (ширина b, высота h, y-координата центра части)
parts = [
    (0.10, 0.02, 0.11),   # верхняя полка
    (0.02, 0.20, 0.00),   # стенка
    (0.10, 0.02, -0.11),  # нижняя полка
]
# общий центр по y (симметрично) = 0
yC = 0.0
I_total = 0.0
for b, h, yc in parts:
    A = b * h
    Ic = b * h**3 / 12          # собственный момент инерции
    d = yc - yC
    I_total += Ic + A * d**2    # теорема Штейнера
print(f"Ix составного сечения = {I_total:.6e} м^4")

Вывод:

Ix составного сечения = 6.186667e-05 м^4

Основной вклад дают полки: они далеко от оси, и член $A d^2$ доминирует — именно поэтому двутавр так жёсток при малой массе.

Как работает под капотом

Откуда берётся $A d^2$? Подставим в $I = \int (y + d)^2 dA$ смещение оси на $d$: раскрывая скобку, получаем $\int y^2 dA + 2d\int y\,dA + d^2\int dA$. Первый член — это $I_C$, последний — $A d^2$. А средний член $2d\int y\,dA$ равен нулю, потому что $\int y\,dA$ — это статический момент относительно центральной оси, а он, как мы знаем, равен нулю! Вот почему теорема работает только при переносе от центральной оси, и вот почему центральная ось даёт минимальный момент инерции — любой перенос лишь добавляет неотрицательное $A d^2$.

Частые ошибки

Переносить момент инерции между двумя нецентральными осями одним применением теоремы — нужно идти через центральную ось.
Забывать член $A d^2$ и складывать только собственные моменты частей.
Брать расстояние $d$ от края части, а не от её центра тяжести.
Применять теорему к непараллельным осям — она только для параллельного переноса.

Итог

Теорема Штейнера: $I = I_C + A d^2$ (для масс: $J = J_C + m d^2$).
Перенос только от центральной оси; средний член зануляется статическим моментом.
Центральная ось даёт минимальный момент инерции.
В двутавре главный вклад — полки через член $A d^2$.