Центр тяжести. Статические моменты

Центр тяжести — точка, в которой как бы сосредоточен весь вес тела.

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести всех частиц тела при любом его положении.

Зачем нужен центр тяжести? Чтобы заменить распределённый по всему телу вес одной силой и понять, опрокинется ли конструкция, где приложить нагрузку, как тело повиснет. Для системы материальных точек с массами $m_i$ и координатами $(x_i, y_i)$ координаты центра тяжести (центра масс) равны средневзвешенным по массе:

$$x_C = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}, \qquad y_C = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}.$$

Числители $\sum m_i x_i$ и $\sum m_i y_i$ называют статическими моментами массы относительно осей. Для однородных плоских фигур масса пропорциональна площади, поэтому массы заменяют площадями $A_i$.

Составная фигура

Главный приём: сложную фигуру разбивают на простые части (прямоугольники, треугольники, круги), для которых центр тяжести известен, и усредняют их по площади. Найдём центр тяжести Г-образной фигуры из двух прямоугольников.

# каждая часть: (площадь, x центра, y центра)
parts = [
    (8.0, 1.0, 4.0),   # вертикальный прямоугольник 2x4
    (6.0, 4.0, 1.0),   # горизонтальный прямоугольник 3x2
]

A = sum(p[0] for p in parts)
Sx = sum(p[0] * p[2] for p in parts)   # статический момент относительно Ox
Sy = sum(p[0] * p[1] for p in parts)   # относительно Oy

xC = Sy / A
yC = Sx / A
print(f"суммарная площадь A = {A:.1f}")
print(f"Sx = {Sx:.1f}, Sy = {Sy:.1f}")
print(f"центр тяжести: ({xC:.3f}, {yC:.3f})")

Вывод:

суммарная площадь A = 14.0
Sx = 38.0, Sy = 32.0
центр тяжести: (2.286, 2.714)

Где нужен центр тяжести

Центр тяжести — одно из самых практичных понятий механики. От его положения зависит, опрокинется ли кран, накренится ли судно, устойчив ли автомобиль на повороте. Чем ниже центр тяжести, тем устойчивее тело: гоночные машины делают приземистыми именно поэтому, а в гружёный самосвал нельзя класть тяжёлый груз сверху. При проектировании поворотных механизмов центр тяжести вращающихся частей стараются вывести точно на ось — иначе возникнут вибрации (дисбаланс). В строительстве через центр тяжести проходит равнодействующая собственного веса конструкции, и от его положения зависят реакции опор. Даже в спорте — прыгун в высоту изгибается дугой, чтобы его центр тяжести прошёл под планкой, хотя тело — над ней. Поэтому умение быстро находить центр тяжести составной фигуры пригодится далеко за пределами учебных задач.

Метод отрицательных площадей

Если в фигуре есть отверстие, его учитывают как часть с отрицательной площадью. Тогда формула остаётся той же, а вырезанная область просто вычитается из статических моментов и суммарной площади. Это избавляет от интегрирования по сложному контуру.

Как работает под капотом

Почему центр тяжести — это средневзвешенное? Равнодействующая сил тяжести $\sum m_i g$ должна давать тот же момент относительно любой оси, что и все силы по отдельности. Условие равенства моментов относительно оси $Oy$: $\left(\sum m_i g\right) x_C = \sum m_i g\, x_i$, откуда сокращается $g$ и получается формула. Статический момент — это и есть «момент площади», по аналогии с моментом силы: площадь играет роль силы, координата — роль плеча. Замечательное свойство: статический момент относительно оси, проходящей через сам центр тяжести, равен нулю — поэтому центр тяжести часто ищут как точку, относительно которой $\sum m_i x_i' = 0$.

Частые ошибки

Усреднять координаты без веса по площади (брать просто среднее центров) — неверно при разных площадях.
Забывать делать площадь отверстия отрицательной.
Брать центр тяжести треугольника в середине высоты, а не на $1/3$ от основания.
Путать статический момент (Н·м или м³) с моментом инерции (м⁴).

Итог

Центр тяжести — средневзвешенные по массе/площади координаты.
Статические моменты $S_y=\sum A_i x_i$, $S_x=\sum A_i y_i$.
Составную фигуру разбивают на простые; отверстия — отрицательная площадь.
Относительно оси через центр тяжести статический момент равен нулю.