Сложение сил. Равнодействующая

Несколько сил, приложенных к телу, можно заменить одной — равнодействующей.

Равнодействующая — сила, которая производит на тело то же действие, что и вся система сил вместе.

Если в одной точке тела сходятся несколько сил, их удобно заменить одной эквивалентной. Геометрически две силы складываются по правилу параллелограмма: строим на векторах $\vec F_1$ и $\vec F_2$ параллелограмм, диагональ и есть $\vec R = \vec F_1 + \vec F_2$. Для многих сил удобнее правило многоугольника: откладываем векторы один за другим, замыкающая — равнодействующая.

Аналитический метод

Геометрия наглядна, но на практике считают через проекции. Проекция равнодействующей на ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых сил:

$$R_x = \sum_{i} F_{ix}, \qquad R_y = \sum_{i} F_{iy}.$$

А модуль и направление равнодействующей — как всегда:

$$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \qquad \tan\alpha = \frac{R_y}{R_x}.$$

Сложим три силы, приложенные в одной точке под разными углами к горизонту.

import math

# (модуль, угол к Ox в градусах)
forces = [(40, 0), (30, 90), (50, 210)]

Rx = sum(F * math.cos(math.radians(a)) for F, a in forces)
Ry = sum(F * math.sin(math.radians(a)) for F, a in forces)

R = math.hypot(Rx, Ry)
angle = math.degrees(math.atan2(Ry, Rx)) % 360

print(f"Rx = {Rx:.3f} Н")
print(f"Ry = {Ry:.3f} Н")
print(f"R  = {R:.3f} Н")
print(f"угол = {angle:.1f} град")

Вывод:

Rx = -3.301 Н
Ry = 5.000 Н
R  = 5.992 Н
угол = 123.4 град

Где это работает на практике

Сложение сил — не учебная абстракция, а ежедневный инструмент инженера. Когда кран поднимает груз двумя стропами, расходящимися под углом, натяжение в каждой стропе тем больше, чем шире угол между ними — и складываются именно векторы натяжений, дающие в сумме вертикальный вес груза. Когда самолёт летит, на него действуют тяга, вес, подъёмная сила и сопротивление: их равнодействующая определяет ускорение. Даже простое перетягивание каната — это баланс двух сил вдоль одной линии. Во всех случаях метод один: разложить силы на проекции, сложить проекции, восстановить равнодействующую. Поэтому, освоив сложение сил, вы получаете универсальный ключ ко всем последующим задачам статики и динамики, где почти всегда первый шаг — найти равнодействующую приложенных сил.

Закон косинусов для двух сил

Для двух сил с углом $\varphi$ между ними модуль равнодействующей даёт теорема косинусов:

$$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos\varphi}.$$

При $\varphi = 0$ силы сонаправлены и $R = F_1 + F_2$ (максимум), при $\varphi = 180^\circ$ направлены навстречу и $R = |F_1 - F_2|$ (минимум). Знак плюс перед косинусом появляется потому, что $\varphi$ — угол между самими векторами, а не внешний угол треугольника сил.

Как работает под капотом

Почему проекции можно складывать алгебраически, а модули — нет? Потому что операция проецирования линейна: проекция суммы векторов равна сумме проекций. Это прямое следствие линейности скалярного произведения. Поэтому громоздкое сложение векторов сводится к двум независимым суммам чисел — по $x$ и по $y$. Именно этот приём лежит в основе всей вычислительной статики: вместо рисования многоугольников мы складываем столбцы чисел. В коде генераторное выражение sum(... for F, a in forces) ровно это и делает.

Частые ошибки

Складывать модули сил: $R \neq F_1 + F_2$ в общем случае, это верно только для сонаправленных сил.
В законе косинусов брать угол треугольника сил вместо угла между векторами — отсюда неверный знак.
Забывать про четверть угла равнодействующей: atan2 и приведение по модулю 360 спасают.
Смешивать сходящиеся и несходящиеся силы. Этот метод — только для сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Итог

Равнодействующая заменяет систему сходящихся сил одной силой.
Аналитически: $R_x=\sum F_{ix}$, $R_y=\sum F_{iy}$, затем модуль и угол.
Для двух сил — теорема косинусов с углом между векторами.
Проецирование линейно, поэтому проекции складываются алгебраически.