Момент силы. Пара сил

Сила не только тянет тело, но и вращает его — мера вращательного действия это момент.

Момент силы относительно точки — произведение модуля силы на плечо: $M = F\,d$, где $d$ — кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.

Если толкать дверь у петель — она почти не поворачивается, а если у края — легко. Сила одна, а эффект разный, потому что разное плечо. Момент силы $M = F d$ измеряется в ньютон-метрах (Н·м) и описывает способность силы вращать тело вокруг точки (центра моментов).

Знак момента и плечо

На плоскости моменту приписывают знак: положительный, если сила стремится вращать тело против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. Плечо $d$ — длина перпендикуляра, опущенного из центра моментов на линию действия силы. Если сила задана в точке $(x, y)$ проекциями $(F_x, F_y)$, момент относительно начала координат удобно считать через векторное произведение:

$$M_O = x F_y - y F_x.$$

Это та же формула $M = F d$, но автоматически учитывающая и плечо, и знак. Посчитаем момент силы $(F_x, F_y) = (0, -200)$ Н, приложенной в точке $(1.5, 0)$ м.

import math

x, y = 1.5, 0.0        # точка приложения, м
Fx, Fy = 0.0, -200.0   # проекции силы, Н

M = x * Fy - y * Fx    # момент относительно O, Н*м

# проверка через F*d: плечо силы (вертикальной) = x
F = math.hypot(Fx, Fy)
d = abs(x)
print(f"M = {M:.1f} Н*м")
print(f"F*d = {F * d:.1f} Н*м (модуль)")
print("знак: " + ("против часовой" if M > 0 else "по часовой"))

Вывод:

M = -300.0 Н*м
F*d = 300.0 Н*м (модуль)
знак: по часовой

Знак момента и здравый смысл

Выбор положительного направления вращения (против часовой стрелки) — это всего лишь соглашение, но придерживаться его нужно строго в пределах одной задачи. Представьте гаечный ключ: вы тянете его за конец, и гайка закручивается. Если ту же силу приложить ближе к гайке, момент уменьшится, и закрутить будет тяжелее — отсюда и длинные рукоятки у мощных инструментов. Знак момента отвечает на вопрос «в какую сторону повернёт»: при расчёте балки моменты от веса груза и от реакции опоры имеют противоположные знаки и должны уравновеситься. Привычка сразу определять знак момента «на глаз» — представив, куда сила толкнёт тело вокруг центра, — экономит массу времени и спасает от ошибок в уравнениях равновесия, которыми мы займёмся в следующем разделе.

Пара сил

Пара сил — две равные по модулю, противоположно направленные и не лежащие на одной прямой силы. Их равнодействующая равна нулю ($\vec F + (-\vec F) = 0$), поэтому пара не двигает центр масс, но создаёт чистый вращательный эффект. Момент пары равен произведению модуля одной силы на плечо пары (расстояние между линиями действия):

$$M = F\,d.$$

Замечательное свойство: момент пары одинаков относительно любой точки плоскости. Пару можно свободно переносить и поворачивать в плоскости — её действие определяется только моментом. Поэтому пара сил — это, по сути, «чистый момент».

Как работает под капотом

Формула $M_O = xF_y - yF_x$ — это $z$-компонента векторного произведения $\vec r \times \vec F$, где $\vec r = (x, y, 0)$ — радиус-вектор точки приложения. Векторное произведение даёт вектор момента, перпендикулярный плоскости; на плоскости от него остаётся только знак (направление по правилу правой руки). Почему момент пары не зависит от центра? Момент пары относительно точки $O$ равен $\vec r_1 \times \vec F + \vec r_2 \times (-\vec F) = (\vec r_1 - \vec r_2) \times \vec F$, а разность $\vec r_1 - \vec r_2$ не зависит от выбора $O$ — она задаёт только взаимное расположение точек приложения.

Частые ошибки

Брать плечом расстояние до точки приложения силы, а не до её линии действия. Плечо — это перпендикуляр.
Терять знак момента. На плоскости момент — алгебраическая величина.
Думать, что у пары сил есть равнодействующая. Её нет — есть только момент.
Считать, что момент пары зависит от выбора центра. Не зависит.

Итог

Момент силы $M = Fd$ — мера её вращательного действия, измеряется в Н·м.
На плоскости через проекции: $M_O = xF_y - yF_x$ (знак и плечо сразу).
Пара сил даёт чистый момент $M=Fd$, не зависящий от центра моментов.
Пару можно свободно перемещать в плоскости.