Клин и самоторможение

Если угол подъёма меньше угла трения, механизм держит нагрузку сам — это самоторможение.

Самоторможение — свойство механизма не приходить в движение под действием движущей нагрузки, если угол наклона рабочей поверхности меньше угла трения.

Почему домкрат удерживает машину, а не складывается под её весом? Почему винт не выкручивается сам? Ответ — самоторможение, прямое следствие трения. Клин (а винт — это «обёрнутый» вокруг цилиндра клин) поднимает груз, если толкать его вдоль. Но обратный ход — когда груз пытается вытолкнуть клин — возможен только при достаточно большом угле клина $\beta$. Условие самоторможения:

$$\beta \le \varphi, \qquad \text{то есть}\quad \tan\beta \le \mu.$$

Если угол подъёма $\beta$ меньше угла трения $\varphi$, нагрузка не сможет сдвинуть клин обратно — механизм заклинивается сам. Это ровно то условие, что и угол откоса, но применённое к рабочей грани клина.

КПД и расплата за надёжность

За самоторможение приходится платить. КПД самотормозящего механизма всегда меньше 50%: чтобы поднять груз, нужно затратить больше половины работы на преодоление трения. Оценим силу, нужную для подъёма груза клином, и проверим условие самоторможения.

import math

Q = 5000.0      # вес груза, Н
beta = math.radians(8)   # угол подъёма клина
mu = 0.20
phi = math.atan(mu)

# сила для подъёма (клин толкают): P = Q*tan(beta + phi)
P = Q * math.tan(beta + phi)
selflock = beta <= phi

print(f"угол трения = {math.degrees(phi):.2f} град")
print(f"сила подъёма P = {P:.1f} Н")
print("самоторможение: " + ("да" if selflock else "нет"))

Вывод:

угол трения = 11.31 град
сила подъёма P = 1751.9 Н
самоторможение: да

Угол клина $8^\circ$ меньше угла трения $11.3^\circ$ — клин держит груз и не выскакивает обратно.

Самоторможение вокруг нас

Принцип самоторможения работает в огромном числе устройств, и часто мы этого не замечаем. Винтовой домкрат держит поднятый автомобиль, не раскручиваясь под его весом. Червячная передача в редукторе передаёт вращение в одну сторону, но не даёт провернуть её с выхода — её используют в подъёмных лебёдках и приводах, где нагрузка не должна «сбежать» при отключении двигателя. Струбцина, тиски, винтовой пресс — все зажимают деталь и держат её сами, без фиксаторов. Даже обычный шуруп держится в дереве отчасти благодаря самоторможению резьбы. Обратная сторона медали — низкий КПД: самотормозящий механизм тратит больше половины работы на трение, поэтому там, где важна эффективность (ходовые винты станков с ЧПУ), от самоторможения сознательно отказываются, делая угол подъёма больше угла трения и добавляя тормоз отдельно. Выбор между самоторможением и КПД — типичное инженерное решение, и теперь вы понимаете его физику.

Винт как развёрнутый клин

Резьба винта — это клин, навитый на цилиндр. Угол подъёма резьбы $\beta$ определяется шагом $p$ и диаметром $d$: $\tan\beta = \frac{p}{\pi d}$. Крепёжные винты делают самотормозящими ($\beta \lt \varphi$), поэтому гайка не откручивается от вибрации сама. А вот ходовые винты домкратов балансируют между самоторможением и приемлемым КПД.

Как работает под капотом

Формула $P = Q\tan(\beta + \varphi)$ для подъёма и $P' = Q\tan(\beta - \varphi)$ для опускания раскрывает суть. При подъёме трение мешает — его угол $\varphi$ добавляется к углу клина. При опускании груз сам толкает клин, трение мешает уже этому движению — угол $\varphi$ вычитается. Если $\beta \lt \varphi$, то $\tan(\beta - \varphi) \lt 0$: «отрицательная» сила означает, что груз не только не вытолкнет клин, но и сам не сдвинется — нужно ещё приложить усилие, чтобы стронуть клин в обратную сторону. Это и есть математическое лицо самоторможения.

Частые ошибки

• Путать угол подъёма клина с углом при вершине — в условии участвует угол рабочей грани.
• Ожидать высокий КПД от самотормозящего механизма — он принципиально ниже 50%.
• При опускании груза прибавлять угол трения вместо вычитания.
• Считать, что самоторможение зависит от веса груза — оно зависит только от углов.

Итог

• Самоторможение при $\beta \le \varphi$ ($\tan\beta \le \mu$): механизм держит нагрузку сам.
• Подъём: $P = Q\tan(\beta+\varphi)$; опускание: $P' = Q\tan(\beta-\varphi)$.
• КПД самотормозящего механизма всегда меньше 50%.
• Крепёжные винты самотормозящие, поэтому не откручиваются сами.