Устойчивость и формула Эйлера

Длинный сжатый стержень может внезапно выгнуться вбок задолго до того, как напряжение достигнет предела прочности.

Потеря устойчивости (продольный изгиб) — внезапное искривление прямого сжатого стержня при достижении силой критического значения.

Опасность сжатия

Короткий толстый стержень при сжатии разрушается по напряжению ($\sigma = N/A$). Но длинный тонкий — линейка, стойка, шток — ведёт себя иначе: до некоторой силы он остаётся прямым, а при её превышении мгновенно изгибается вбок и теряет несущую способность. Это потеря устойчивости. Критическая сила может быть в разы меньше той, что вызвала бы разрушение по прочности, — поэтому устойчивость считают отдельно.

Формула Эйлера

Леонард Эйлер вывел критическую силу для шарнирно опёртого стержня. В общем виде с учётом способа закрепления:

$$ F_{кр} = \frac{\pi^2 E I}{(\mu\, l)^2} $$

Здесь $E I$ — минимальная жёсткость сечения (берут наименьший момент инерции — стержень выгнется в «слабую» сторону), $l$ — длина, $\mu$ — коэффициент приведения длины, зависящий от закрепления концов:

Чем жёстче закреплены концы, тем меньше $\mu$ и тем больше критическая сила. Произведение $\mu l$ называют приведённой длиной.

import math
E = 2.1e11
d = 0.030          # диаметр стойки, м
I = math.pi * d**4 / 64   # минимальный момент инерции (круг)
l = 1.5            # длина, м
mu = 1.0           # оба конца шарнирные

F_cr = math.pi**2 * E * I / (mu * l)**2
A = math.pi * d**2 / 4
sigma_cr = F_cr / A
print("Момент инерции I =", round(I*1e8, 3), "·10^-8 м^4")
print("Критическая сила Fкр =", round(F_cr/1000, 2), "кН")
print("Критическое напряжение =", round(sigma_cr/1e6, 1), "МПа")

Вывод:

Момент инерции I = 3.976 ·10^-8 м^4
Критическая сила Fкр = 36.63 кН
Критическое напряжение = 51.8 МПа

Стойка теряет устойчивость при напряжении всего 52 МПа — намного раньше предела текучести стали (240 МПа). Устойчивость, а не прочность, здесь решает.

Влияние закрепления и запас устойчивости

Поменяем закрепление на «обе заделки» ($\mu = 0{,}5$) — критическая сила вырастет в $(1/0{,}5)^2 = 4$ раза. Допускаемую силу берут с запасом устойчивости $[n_у]$ (обычно 1,8–3): $[F] = F_{кр}/[n_у]$.

import math
E, d, l = 2.1e11, 0.030, 1.5
I = math.pi * d**4 / 64
for mu, name in [(1.0, "шарнир-шарнир"), (0.5, "заделка-заделка"), (2.0, "консоль")]:
    F_cr = math.pi**2 * E * I / (mu * l)**2
    print(f"{name:18s} (mu={mu}): Fкр = {F_cr/1000:6.2f} кН")
n_у = 2.0
F_cr_base = math.pi**2 * E * I / (1.0 * l)**2
print("Допускаемая сила при шарнирах =", round(F_cr_base/n_у/1000, 2), "кН")

Вывод:

шарнир-шарнир      (mu=1.0): Fкр =  36.63 кН
заделка-заделка    (mu=0.5): Fкр = 146.50 кН
консоль            (mu=2.0): Fкр =   9.16 кН
Допускаемая сила при шарнирах = 18.31 кН

Гибкость и границы применимости

Формула Эйлера верна только для упругой потери устойчивости — для гибких стержней. Гибкость $\lambda = \mu l / i$, где $i = \sqrt{I/A}$ — радиус инерции сечения. Критическое напряжение $\sigma_{кр} = \pi^2 E/\lambda^2$. Формула Эйлера применима, пока $\sigma_{кр} \le \sigma_{пц}$, то есть при $\lambda \ge \lambda_{пред}$ (для стали $\lambda_{пред} \approx 100$). Для стержней средней гибкости используют эмпирическую формулу Ясинского, для коротких — обычный расчёт на прочность.

import math
E, d, l, mu = 2.1e11, 0.030, 1.5, 1.0
I = math.pi * d**4 / 64
A = math.pi * d**2 / 4
i = math.sqrt(I / A)        # радиус инерции
lam = mu * l / i           # гибкость
lam_pred = math.pi * math.sqrt(E / 200e6)   # для sigma_пц=200 МПа
print("Радиус инерции i =", round(i*1000, 2), "мм")
print("Гибкость lambda =", round(lam, 1))
print("Предельная гибкость =", round(lam_pred, 1))
print("Формула Эйлера применима:", lam >= lam_pred)

Вывод:

Радиус инерции i = 7.5 мм
Гибкость lambda = 200.0
Предельная гибкость = 101.8
Формула Эйлера применима: True

Как работает под капотом

Эйлерова сила — это значение, при котором уравнение упругой линии сжатого стержня $EI\,y'' + F y = 0$ получает ненулевое решение (стержень может изогнуться, оставаясь в равновесии). Это задача на собственные значения: наименьшее из них и есть $F_{кр}$. Коэффициент $\mu$ отражает форму потери устойчивости — число полуволн синусоиды, в которую выгибается стержень. Радиус инерции $i$ показывает, насколько «размазано» сечение: тонкостенные сечения с большим $i$ устойчивее.

Частые ошибки

• Берут максимальный момент инерции вместо минимального — стержень выгнется в плоскости наименьшей жёсткости.
• Применяют формулу Эйлера к коротким (негибким) стержням, где она неверна — там работает прочность.
• Забывают коэффициент $\mu$ или путают его значения для разных закреплений.

Итоги

• Сжатый гибкий стержень теряет устойчивость при $F_{кр} = \pi^2 EI/(\mu l)^2$.
• $\mu$ зависит от закрепления: 1 (шарниры), 0,5 (заделки), 2 (консоль).
• Берут минимальный $I$; допускаемая сила $[F] = F_{кр}/[n_у]$.
• Формула Эйлера верна при $\lambda \ge \lambda_{пред}$; иначе — Ясинский или расчёт на прочность.