Сложное сопротивление: совместные нагрузки

В реальных деталях нагрузки действуют вместе: растяжение, изгиб и кручение складываются в одном сечении.

Сложное сопротивление — работа бруса под одновременным действием нескольких простых видов деформации.

Принцип суперпозиции

Пока материал работает упруго, напряжения от разных нагрузок складываются независимо — это принцип суперпозиции. Если в сечении одновременно действуют продольная сила $N$ и изгибающий момент $M$ (например, при внецентренном сжатии или у кронштейна), нормальные напряжения суммируются:

$$ \sigma = \frac{N}{A} \pm \frac{M}{W} $$

Знак зависит от волокна: на одной грани напряжения складываются (опасная сторона), на другой — частично гасят друг друга.

Внецентренное сжатие

Колонна сжата силой $F$, приложенной не по центру, а со смещением (эксцентриситетом) $e$. Это эквивалентно центральной силе $F$ плюс моменту $M = F e$. Тогда:

$$ \sigma_{max} = -\frac{F}{A} - \frac{F e}{W}, \qquad \sigma_{min} = -\frac{F}{A} + \frac{F e}{W} $$

F = 100_000.0   # сжимающая сила, Н
e = 0.030       # эксцентриситет, м
b, h = 0.100, 0.150   # сечение, м
A = b * h
W = b * h**2 / 6      # момент сопротивления относительно оси изгиба
M = F * e            # момент от эксцентриситета

sigma_axial = -F / A        # от сжатия (минус)
sigma_bend = M / W          # от изгиба
sigma_max = sigma_axial - sigma_bend   # самая сжатая грань
sigma_min = sigma_axial + sigma_bend   # противоположная грань
print("От сжатия     =", round(sigma_axial/1e6, 2), "МПа")
print("От изгиба    +/-", round(sigma_bend/1e6, 2), "МПа")
print("sigma_max (сжатие) =", round(sigma_max/1e6, 2), "МПа")
print("sigma_min          =", round(sigma_min/1e6, 2), "МПа")

Вывод:

От сжатия     = -6.67 МПа
От изгиба    +/- 8.0 МПа
sigma_max (сжатие) = -14.67 МПа
sigma_min          = 1.33 МПа

Эксцентриситет более чем удвоил напряжение на сжатой грани (с −6,67 до −14,67 МПа), а на противоположной грани появилось растяжение +1,33 МПа — это опасно для материалов вроде бетона, плохо работающих на растяжение.

Изгиб с кручением (валы)

Вал передаёт момент и одновременно изгибается от веса шкивов и натяжения ремней. Нормальные ($\sigma$ от изгиба) и касательные ($\tau$ от кручения) напряжения по теории прочности объединяют в эквивалентное напряжение. По третьей теории прочности (наибольших касательных напряжений):

$$ \sigma_{экв} = \sqrt{\sigma^2 + 4\tau^2} \le [\sigma] $$

import math
sigma = 80e6   # от изгиба, Па
tau = 50e6     # от кручения, Па
sigma_eq = math.sqrt(sigma**2 + 4 * tau**2)
print("Эквивалентное напряжение =", round(sigma_eq/1e6, 1), "МПа")
print("Прочность (при [sigma]=160 МПа):", sigma_eq <= 160e6)

Вывод:

Эквивалентное напряжение = 128.1 МПа
Прочность (при [sigma]=160 МПа): True

Как работает под капотом

Суперпозиция законна только в линейной упругой задаче, где отклик пропорционален нагрузке и геометрия меняется мало. Теории прочности нужны потому, что разрушение определяется не одним напряжением, а их комбинацией: третья теория считает опасным максимальное касательное напряжение, четвёртая (энергетическая) — удельную энергию формоизменения. Для пластичных металлов чаще применяют четвёртую: $\sigma_{экв} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$.

Частые ошибки

Складывают напряжения от изгиба и кручения арифметически — они разной природы ($\sigma$ и $\tau$), нужна теория прочности.
Забывают про знак: на одной грани нагрузки складываются, на другой вычитаются.
Игнорируют возможное появление растяжения при внецентренном сжатии хрупких материалов.

Итоги

В упругой задаче напряжения от разных нагрузок складываются (суперпозиция).
Растяжение/сжатие с изгибом: $\sigma = N/A \pm M/W$.
Внецентренное приложение силы $F$ даёт момент $M = Fe$.
Изгиб с кручением сводят к $\sigma_{экв}$ по теории прочности.