Скорость на круговой орбите

Урок выводит орбитальную скорость и показывает, что низкие спутники летят быстрее высоких.

Орбитальная (круговая) скорость — скорость, при которой центростремительное ускорение точно равно гравитационному на данной высоте.

Из баланса сил $\dfrac{\mu m}{a^2} = \dfrac{m v^2}{a}$ масса сокращается и остаётся простая формула:

$$v = \sqrt{\dfrac{\mu}{a}}$$

Чем выше орбита (больше $a$), тем меньше скорость. Это контринтуитивно: «дальше от Земли — медленнее». У поверхности круговая скорость максимальна — около 7,9 км/с (первая космическая).

Считаем скорости

import math

mu = 3.986004418e14
R  = 6371e3

for h_km in [550, 20200, 35786]:
    a = R + h_km * 1e3
    v = math.sqrt(mu / a)
    print(f"h={h_km:>6} км  ->  v = {v/1000:6.3f} км/с")

Вывод:

h=   550 км  ->  v =  7.589 км/с
h= 20200 км  ->  v =  3.873 км/с
h= 35786 км  ->  v =  3.075 км/с

НОО — почти 7,6 км/с, ГСО — всего 3,1 км/с. Спутник на ГСО не «висит» в покое: он мчится со скоростью 3 км/с, просто синхронно с вращением Земли.

Как работает под капотом

Полная механическая энергия на круговой орбите равна $E = -\dfrac{\mu m}{2a}$ — она отрицательна (связанная система) и зависит только от радиуса. Чтобы поднять орбиту выше, нужно добавить энергии. Парадокс «выше — медленнее» объясняется тем, что при подъёме кинетическая энергия падает, зато потенциальная растёт сильнее, и суммарная энергия увеличивается.

Частые ошибки

Распространённая путаница — считать, что для подъёма на более высокую орбиту нужно разогнаться, и аппарат там полетит быстрее. На самом деле разгон (импульс) поднимает орбиту, но установившаяся скорость на новой высоте оказывается меньше. Ещё ошибка — применять $v=\sqrt{\mu/a}$ к эллиптической орбите как есть: там скорость меняется по витку, и нужна формула живой силы (vis-viva) $v = \sqrt{\mu(2/r - 1/a)}$.

Итог

Круговая скорость: $v = \sqrt{\mu/a}$ — убывает с высотой.
НОО ≈ 7,6 км/с, ГСО ≈ 3,1 км/с.
Энергия орбиты $E=-\mu m/(2a)$: выше орбита — больше энергии, но меньше скорость.
Для эллипса нужна формула vis-viva.