Высота и период: третий закон Кеплера

Урок выводит связь радиуса орбиты и периода и считает периоды НОО, СОО и ГСО на Python.

Третий закон Кеплера для круговой орбиты: квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси.

Период обращения круговой орбиты зависит только от её размера — большой полуоси $a$ (для круга это радиус от центра Земли) — и гравитационного параметра планеты $\mu = GM$. Для Земли $\mu \approx 3{,}986 \cdot 10^{14}$ м³/с². Большая полуось — это радиус Земли $R \approx 6371$ км плюс высота орбиты $h$.

$$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{\mu}}, \qquad a = R + h$$

Формула не содержит массы спутника: на одной высоте лёгкий кубсат и тяжёлая станция имеют одинаковый период. Чем больше $a$, тем дольше оборот — потому ГСО и «зависает».

Считаем периоды трёх орбит

Подставим высоты 550 км (НОО), 20 200 км (СОО, GPS) и 35 786 км (ГСО) и получим периоды в минутах.

import math

mu = 3.986004418e14   # м^3/с^2, гравитационный параметр Земли
R  = 6371e3           # м, средний радиус Земли

for h_km in [550, 20200, 35786]:
    a = R + h_km * 1e3            # большая полуось, м
    T = 2 * math.pi * math.sqrt(a**3 / mu)   # период, с
    print(f"h={h_km:>6} км  ->  T = {T/60:7.1f} мин = {T/3600:5.2f} ч")

Вывод:

h=   550 км  ->  T =    95.5 мин =  1.59 ч
h= 20200 км  ->  T =   718.4 мин = 11.97 ч
h= 35786 км  ->  T =  1435.7 мин = 23.93 ч

НОО оборачивается за полтора часа, GPS — почти за 12 часов (полусуточная орбита), а ГСО — почти за 24 часа, что и совпадает со звёздными сутками (23 ч 56 мин). Маленькая «недостача» до 24 ч у ГСО — потому что сутки звёздные, а не солнечные.

Как работает под капотом

Формула следует из равенства гравитационной силы и центростремительной: $\dfrac{\mu m}{a^2} = \dfrac{m v^2}{a}$. Масса $m$ сокращается, остаётся $v = \sqrt{\mu/a}$, а период — это длина окружности, делённая на скорость: $T = 2\pi a / v$. Подстановка и даёт кеплеровский корень.

Частые ошибки

Главная ошибка — подставлять в формулу высоту $h$ вместо полной полуоси $a = R + h$. Высота отсчитывается от поверхности, а гравитация — от центра Земли. Вторая ошибка — путать единицы: $\mu$ задан в метрах, поэтому и высоту переводим в метры. Третья — забывать, что формула верна для круговой (и в общем виде эллиптической с $a$ как большой полуосью) орбиты.

Итог

• Период круговой орбиты: $T = 2\pi\sqrt{a^3/\mu}$, где $a = R + h$.
• Период не зависит от массы спутника — только от размера орбиты.
• НОО ≈ 1,5 ч, GPS ≈ 12 ч, ГСО ≈ 23,93 ч (звёздные сутки).
• Считаем от центра Земли и в единых единицах (метры).