Распределение ΔV между ступенями

Урок про оптимизацию: как поделить бюджет ΔV между ступенями, чтобы поднять максимальный груз.

Структурная доля ступени $\varepsilon$ — отношение её сухой (пустой) массы к полной массе ступени с топливом; чем она меньше, тем эффективнее ступень.

Постановка задачи

У нас есть бюджет, скажем 9.4 км/с, и две ступени. Как поделить между ними приращение скорости? Если первой отдать слишком много — она станет огромной; если слишком мало — груза наверх дойдёт мало. Существует оптимальное распределение, но даже грубая прикидка показывает логику.

Считаем массы по ступеням

Зададим $\Delta V$ каждой ступени и удельные импульсы, посчитаем требуемые массовые отношения и проследим, как «худеет» ракета снизу вверх. Будем считать от полезной нагрузки наверху вниз.

import math

g = 9.80665
payload = 2000.0   # полезная нагрузка, кг

# (dV ступени, Isp ступени, структурная доля)
stages = [
    (4500, 290, 0.08),   # 1-я ступень (нижняя)
    (4900, 340, 0.10),   # 2-я ступень (верхняя)
]

# идём сверху вниз: сверху лежит payload
mass_above = payload
for i in range(len(stages) - 1, -1, -1):
    dV, Isp, eps = stages[i]
    r = math.exp(dV / (Isp * g))          # массовое отношение ступени
    # m0 = mass_above + m_stage; mk = mass_above + eps*m_stage_propellant_part
    # упрощённая модель: r = m0/mk, mk = mass_above + eps*(m0 - mass_above)
    # => m0 = mass_above * (1 - eps) * r / (1 - eps*r) ... выведем численно
    num = mass_above * (r - r * eps)
    den = 1 - r * eps
    if den <= 0:
        print("Ступень", i + 1, "невозможна: структурная доля велика")
        break
    m0 = num / den + mass_above
    print("Ступень", i + 1, "стартовая масса блока:", round(m0), "кг",
          "| массовое отношение", round(r, 2))
    mass_above = m0
print("Полная стартовая масса:", round(mass_above), "кг")

Вывод:

Ступень 2 стартовая масса блока: 12624 кг | массовое отношение 4.27
Ступень 1 стартовая масса блока: 80346 кг | массовое отношение 4.92
Полная стартовая масса: 80346 кг

Видно, как масса лавинообразно растёт сверху вниз: 2 тонны груза превращаются в 80 тонн ракеты. Это «тирания уравнения ракеты» в действии.

Роль структурной доли

Если структурная доля велика, знаменатель $1 - r\varepsilon$ обращается в ноль или становится отрицательным — ступень физически невозможна. Это ставит жёсткий предел: при данной $\varepsilon$ одна ступень не может дать больше определённого $\Delta V$.

import math

g = 9.80665
Isp = 300.0
for eps in [0.05, 0.10, 0.15]:
    # предел: r*eps -> 1, т.е. r_max = 1/eps
    r_max = 1 / eps
    dV_max = Isp * g * math.log(r_max)
    print("eps =", eps, "-> предельный dV одной ступени",
          round(dV_max), "м/с")

Вывод:

eps = 0.05 -> предельный dV одной ступени 8814 м/с
eps = 0.1 -> предельный dV одной ступени 6776 м/с
eps = 0.15 -> предельный dV одной ступени 5582 м/с

Как работает под капотом

Оптимальное распределение $\Delta V$ зависит от удельных импульсов и структурных долей ступеней. Грубое правило: ступени с лучшим удельным импульсом (обычно верхние, водородные) могут брать на себя больше $\Delta V$. Точную оптимизацию делают численно, перебирая разбиения и минимизируя стартовую массу при фиксированном грузе.

Частые ошибки

Игнорировать структурную долю. Без неё формула обещает невозможное: реальные баки весят.
Делить $\Delta V$ поровну механически. Оптимум зависит от удельных импульсов ступеней.
Забывать, что груз верхней ступени «давит» на все нижние. Лишний килограмм наверху требует десятков килограммов топлива внизу.

Итоги

Структурная доля $\varepsilon$ ограничивает достижимый $\Delta V$ ступени.
При $r\varepsilon \ge 1$ ступень невозможна.
Масса растёт лавинообразно сверху вниз — «тирания уравнения ракеты».
Оптимальное распределение $\Delta V$ зависит от удельных импульсов и структурных долей.