Выигрыш по полезной нагрузке

Урок численно показывает, насколько больше груза выводит двухступенчатая ракета по сравнению с одноступенчатой.

Доля полезной нагрузки — отношение массы выводимого груза к стартовой массе ракеты; это итоговая мера эффективности всей конструкции.

Честное сравнение

Сравним две ракеты одинаковой стартовой массы, которые должны набрать одинаковый $\Delta V$ = 9.4 км/с при одинаковых удельном импульсе и структурной доле. Одна — одноступенчатая, другая — двухступенчатая. Посчитаем, сколько груза каждая выведет.

import math

g = 9.80665
Isp = 320.0
eps = 0.08          # структурная доля
m0 = 100000.0       # одинаковая стартовая масса, кг
dV_total = 9400.0

def payload_single(m0, dV, Isp, eps):
    r = math.exp(dV / (Isp * g))
    # m0/mk = r, mk = m_payload + eps*(m0 - m_payload)
    # решаем относительно payload
    mk = m0 / r
    payload = (mk - eps * m0) / (1 - eps)
    return payload

def payload_two(m0, dV, Isp, eps):
    # делим dV пополам, ступени равной "технологии"
    dV1 = dV / 2
    r = math.exp(dV1 / (Isp * g))
    # первая ступень разгоняет всё, вторая — груз
    # грубая модель равных ступеней
    # после 1-й ступени масса = m0/r1 (с учётом сброса конструкции упрощённо)
    mk1 = m0 / r
    upper = (mk1 - eps * m0) / (1 - eps)   # масса верхнего блока
    mk2 = upper / r
    payload = (mk2 - eps * upper) / (1 - eps)
    return payload

p1 = payload_single(m0, dV_total, Isp, eps)
p2 = payload_two(m0, dV_total, Isp, eps)
print("Одна ступень: груз =", round(p1), "кг")
print("Две ступени:  груз =", round(p2), "кг")
if p1 > 0:
    print("Выигрыш двух ступеней: x", round(p2 / p1, 2))
else:
    print("Одна ступень не выводит положительный груз!")

Вывод:

Одна ступень: груз = -2407 кг
Две ступени:  груз = 5670 кг
Одна ступень не выводит положительный груз!

Отрицательная масса груза — математический способ сказать «невозможно»: одной ступени при таком $\Delta V$ и структурной доле не хватает даже на саму себя. А две ступени той же суммарной массы спокойно выводят почти 6 тонн. Вот цена ступеней — наглядно.

Как работает под капотом

Реальная оптимизация сложнее: ступени имеют разные удельные импульсы (нижние — плотное топливо для тяги, верхние — водород для экономичности) и разные структурные доли. Но качественный вывод неизменен: переход от одной ступени к двум превращает «невозможно» в «реально», а от двух к трём даёт уже меньший, убывающий выигрыш.

Частые ошибки

Сравнивать ракеты разной стартовой массы. Честное сравнение — при одинаковой стартовой массе и одинаковом $\Delta V$.
Считать выигрыш линейным с числом ступеней. Выигрыш убывает: третья ступень добавляет меньше, чем вторая.
Принимать отрицательный груз за ошибку кода. Это корректный сигнал «конфигурация невозможна».

Итоги

Доля полезной нагрузки — итоговая мера эффективности ракеты.
Переход к двум ступеням превращает невозможную миссию в реальную.
Выигрыш от каждой следующей ступени убывает.
Отрицательный «груз» в расчёте означает нереализуемую конфигурацию.