Динамика: моменты в суставах

Кинематика говорит, куда двигаться; динамика — какие силы и моменты для этого нужны приводам.

Динамика — раздел механики, связывающий движение с вызывающими его силами и моментами (учитывает массы, в отличие от кинематики).

Чтобы удержать вытянутую руку, привод должен создавать момент против гравитации. В статике (рука неподвижна) момент в суставе равен сумме «вес × горизонтальное плечо» для всех масс за этим суставом.

Гравитационные моменты двухзвенника

Считаем массы сосредоточенными на концах звеньев ($m_1$ на конце первого, $m_2$ — на схвате). Горизонтальное плечо груза — проекция $\cos$ соответствующего угла. Моменты в суставах:

$$ \tau_2 = m_2 \, g \, L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) $$

$$ \tau_1 = (m_1 + m_2)\, g \, L_1 \cos\theta_1 + m_2 \, g \, L_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) $$

Первый сустав держит вес обоих звеньев, второй — только нагрузку за ним. Полная динамика (с ускорениями) описывается уравнением:

$$ \tau = M(q)\ddot q + C(q, \dot q)\dot q + g(q) $$

где $M$ — матрица инерции, $C$ — кориолисовы и центробежные члены, $g$ — гравитация. В статике остаётся только $g(q)$.

Считаем

$m_1 = 2$ кг, $m_2 = 1$ кг, $L_1 = 1.0$, $L_2 = 0.7$ м, $\theta = (30^\circ, 20^\circ)$, $g = 9.81$.

import math

m1, m2, L1, L2, g = 2.0, 1.0, 1.0, 0.7, 9.81
a1, a2 = math.radians(30), math.radians(20)

tau2 = m2 * g * L2 * math.cos(a1 + a2)
tau1 = (m1 + m2) * g * L1 * math.cos(a1) + m2 * g * L2 * math.cos(a1 + a2)
print("момент в суставе 1 =", round(tau1, 4), "Н·м")
print("момент в суставе 2 =", round(tau2, 4), "Н·м")

Вывод:

момент в суставе 1 = 29.9012 Н·м
момент в суставе 2 = 4.414 Н·м

Как работает под капотом

Момент максимален, когда звено горизонтально ($\cos = 1$): плечо силы тяжести наибольшее. Когда звено вертикально ($\cos = 0$), гравитационный момент исчезает — поэтому держать груз «над собой» энергетически выгоднее, чем на вытянутой в сторону руке. Эти расчёты определяют выбор приводов: мотор должен выдавать момент с запасом над максимальным статическим, плюс динамический на разгон.

Частые ошибки

Считать момент по полному весу, забыв про плечо (проекцию $\cos$) — переоценка у вертикали, недооценка у горизонтали.
Игнорировать, что первый сустав несёт вес всех последующих звеньев.
Подбирать привод только под статику, забыв про моменты на разгон/торможение (член $M\ddot q$).

Итог

Динамика связывает движение с силами и моментами, учитывая массы.
Статический момент в суставе = сумма «вес × горизонтальное плечо» для масс за ним.
Момент максимален при горизонтальном звене, ноль — при вертикальном.
Полное уравнение: $\tau = M\ddot q + C\dot q + g(q)$; в статике остаётся гравитация.