Движение в 2D: две независимые оси

Главный секрет полёта снаряда: по горизонтали и по вертикали тело движется независимо.

Принцип независимости движений — движение по перпендикулярным осям можно считать раздельно: по каждой оси действует своя кинематика.

Раскладываем скорость на компоненты

Брошенный под углом $\alpha$ со скоростью $v_0$ мяч имеет две составляющие скорости:

$$v_{0x} = v_0 \cos\alpha, \qquad v_{0y} = v_0 \sin\alpha.$$

По горизонтали (если нет сопротивления) ускорения нет — скорость $v_x$ постоянна. По вертикали действует гравитация, и работает уже знакомая кинематика с $a = -g$. Эти два движения не мешают друг другу: время полёта определяется вертикалью, а дальность — произведением горизонтальной скорости на это время. В этом вся прелесть — задачу 2D мы свели к двум независимым задачам 1D.

Симулируем бросок под углом

Бросим мяч со скоростью $20$ м/с под углом $45°$ и напечатаем траекторию — пары $(x, y)$ — пока мяч не упадёт на землю ($y \lt 0$).

import math
v0, ang = 20.0, math.radians(45)
vx = v0 * math.cos(ang)
vy = v0 * math.sin(ang)
x, y, dt, g = 0.0, 0.0, 0.1, 9.8
while True:
    print(f"x={x:6.2f}  y={y:6.2f}")
    vy = vy - g * dt
    x = x + vx * dt
    y = y + vy * dt
    if y < 0:
        break
print(f"дальность ~ {x:.2f} м")

Вывод:

x=  0.00  y=  0.00
x=  1.41  y=  1.32
x=  2.83  y=  2.53
x=  4.24  y=  3.65
x=  5.66  y=  4.68
x=  7.07  y=  5.60
x=  8.49  y=  6.43
x=  9.90  y=  7.16
x= 11.31  y=  7.79
x= 12.73  y=  8.32
x= 14.14  y=  8.75
x= 15.56  y=  9.09
x= 16.97  y=  9.33
x= 18.38  y=  9.47
x= 19.80  y=  9.51
x= 21.21  y=  9.45
x= 22.63  y=  9.30
x= 24.04  y=  9.05
x= 25.46  y=  8.70
x= 26.87  y=  8.25
x= 28.28  y=  7.70
x= 29.70  y=  7.06
x= 31.11  y=  6.32
x= 32.53  y=  5.48
x= 33.94  y=  4.54
x= 35.36  y=  3.51
x= 36.77  y=  2.37
x= 38.18  y=  1.14
дальность ~ 39.60 м

Траектория — симметричная парабола: мяч поднимается до $\approx 9.74$ м, потом падает. Горизонтальная координата растёт строго равномерно на $1.41$ м за шаг ($v_x \Delta t$), что подтверждает: по горизонтали движение равномерное. Аналитическая дальность $R = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{400 \cdot 1}{9.8} \approx 40.82$ м; наша грубая симуляция дала $39.60$ — отлично сходится.

Как работает под капотом

В коде мы храним четыре числа: $x, y, v_x, v_y$. Каждая ось обновляется по своей формуле, и они никак не связаны между собой через переменные. Именно так устроен любой 2D-движок: вектор скорости — это просто пара чисел, и пока силы можно разложить на компоненты, оси считаются по отдельности. Связь между осями появляется только когда сила зависит от направления движения — например, при сопротивлении воздуха, которое тянет тело против полного вектора скорости. Тогда $v_x$ и $v_y$ перестают быть независимыми, и аналитической формулы дальности уже нет (мы увидим это в разделе про снаряды).

Частые ошибки

Путать синус и косинус. Горизонталь — это $\cos\alpha$, вертикаль — $\sin\alpha$. Перепутаешь — мяч полетит не туда.
Забыть перевести градусы в радианы. math.cos ждёт радианы; для $45°$ нужно math.radians(45).
Думать, что оси всегда независимы. Сопротивление воздуха связывает их, и принцип независимости перестаёт работать.

Итог

Скорость раскладывается: $v_x = v_0\cos\alpha$, $v_y = v_0\sin\alpha$.
Без сопротивления оси движутся независимо: горизонталь — равномерно, вертикаль — с $g$.
Симуляция по двум осям воспроизводит параболу и сходится к $R=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$.
Сопротивление воздуха связывает оси и ломает аналитику.