Явный метод Эйлера: простейший интегратор

Метод Эйлера — это «прибавь скорость, умноженную на шаг» — простейший интегратор, с которого всё начинается.

Явный метод Эйлера — численный метод решения дифференциальных уравнений, в котором следующее состояние вычисляется по производным, взятым в текущей точке.

Что такое интегрирование движения

Физика даёт нам ускорение — как функцию положения, скорости и времени: $a = f(x, v, t)$. Например, для пружины $a = -\frac{k}{m} x$, для гравитации $a = -g$. Задача движка — по ускорению восстановить, как меняются скорость и положение. Это и называется интегрированием уравнений движения. Поскольку аналитически проинтегрировать удаётся редко, делаем это численно — по шагам.

Явный метод Эйлера — самый прямой подход. Зная состояние $(x_n, v_n)$, вычисляем ускорение $a_n = f(x_n, v_n)$ и делаем шаг:

$$x_{n+1} = x_n + v_n \, \Delta t, \qquad v_{n+1} = v_n + a_n \, \Delta t.$$

Обратите внимание: обе новые величины считаются по старым $x_n$ и $v_n$. Поэтому метод и называется «явным» — будущее выражено явно через настоящее, без неизвестных в правой части.

Реализация и проверка

Проверим метод на пружине — гармоническом осцилляторе $a = -x$ (взяли $k = m = 1$). Точное решение — косинус: $x(t) = \cos t$, и полная энергия $E = \frac{v^2}{2} + \frac{x^2}{2}$ должна сохраняться и быть равной $0.5$. Посмотрим, что покажет Эйлер.

x, v, dt = 1.0, 0.0, 0.1
for n in range(11):
    E = 0.5*v*v + 0.5*x*x
    if n % 2 == 0:
        print(f"n={n:2d}  x={x:6.3f}  v={v:6.3f}  E={E:.4f}")
    a = -x
    x_new = x + v*dt
    v = v + a*dt
    x = x_new

Вывод:

n= 0  x= 1.000  v= 0.000  E=0.5000
n= 2  x= 0.990  v=-0.200  E=0.5101
n= 4  x= 0.940  v=-0.396  E=0.5203
n= 6  x= 0.851  v=-0.580  E=0.5308
n= 8  x= 0.727  v=-0.745  E=0.5414
n=10  x= 0.571  v=-0.883  E=0.5523

Энергия, которая обязана быть постоянной, неуклонно растёт: с $0.5000$ до $0.5523$ всего за один период. Маятник в симуляции с каждым колебанием раскачивается всё сильнее, хотя никакой накачки энергии нет. Это фундаментальный изъян явного Эйлера, к которому мы вернёмся в отдельном уроке.

Порядок точности

За один шаг метод Эйлера ошибается на величину порядка $\Delta t^2$ (локальная ошибка). Но шагов на отрезке времени $T$ примерно $\frac{T}{\Delta t}$, поэтому ошибки накапливаются, и итоговая (глобальная) ошибка пропорциональна $\Delta t$. Говорят, что метод имеет первый порядок точности. Практический смысл: чтобы уменьшить ошибку в $10$ раз, нужно в $10$ раз уменьшить шаг и сделать в $10$ раз больше вычислений. Это дорого, поэтому существуют методы более высокого порядка.

Как работает под капотом

Геометрически Эйлер идёт по касательной: в каждой точке он определяет направление (производную) и делает прямой отрезок длиной $\Delta t$ в этом направлении. Если траектория искривляется (а у колебаний она искривляется постоянно), прямой отрезок всегда «вылетает» наружу от истинной кривой. Для осциллятора это означает систематическое раздувание амплитуды. Чем сильнее кривизна и больше шаг, тем заметнее уход.

Несмотря на изъяны, явный Эйлер ценен: он простейший, его легко запрограммировать без ошибок, и для задач без долгого сохранения энергии (например, разовый бросок снаряда на пару секунд) его точности часто хватает. Понимание его слабостей — ключ к выбору лучших методов.

Частые ошибки

Обновить $x$ по уже новой $v$. Тогда это уже не явный Эйлер, а полу-неявный — другой метод. Порядок присваиваний критичен; используйте временную переменную x_new.
Ждать сохранения энергии. Явный Эйлер её не сохраняет — для колебаний и орбит он накапливает энергию и «взрывается».
Бороться с ошибкой только уменьшением шага. Иногда дешевле сменить метод, чем гонять Эйлер с микроскопическим $\Delta t$.

Итог

Явный Эйлер: $x_{n+1}=x_n+v_n\Delta t$, $v_{n+1}=v_n+a_n\Delta t$, всё по старым значениям.
Первый порядок точности: глобальная ошибка $\sim \Delta t$.
Не сохраняет энергию: на колебаниях амплитуда растёт.
Прост и надёжен для коротких задач, плох для долгих колебательных систем.